非线性目标函数问题的求解策略

☉湖南省衡阳县职业中专数学组 龙向东

线性规划问题是不等式的一项重要应用之一，其考查目的是利用不等式的几何意义求与不等式相关的最值问题.根据目标函数的不同可以分为线性目标函数及非线性目标函数，以下介绍常见的非线性目标函数问题的求解策略.

类型一、二元一次式

解析：本题考查线性规划及利用不等式求解最值问题，画出图形得到a、b间的等量关系式，然后用二次函数求解最值的策略求解.由题易知，画出可行域（如图1）.目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值在点（4，6）处取得，所以有2a+3b=6.

点评：本题给出的目标函数为二元一次结构式，求解时依托目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12的条件，得到两个变量关系，从而将目标函数转化为二次函数形式，进而确定其最值.

类型二、与区域面积相关问题

点评：线性约束条件的最终形式是不等式组表示的平面区域，与可行域相关的面积问题也称为考查的一个方向，解决此类问题是观察所涉及区域的面积类型，探寻与面积相关的信息，得出直线方程的相关信息求解.

类型三、分式型目标函数

解析：本题考查利用线性规划的知识解决最值问题，考查了学生等价转化与数形结合的能力.先画出不等式组表示的可行域，根据目标函数的几何意义，借助于图形求解.

因为点A（-3，-4），B（3，2），

点评：本题利用分式的结构特点，将目标函数转化为直线的斜率取值范围问题求解，借助了数形结合的思想，这是求解一次分式型目标函数的常用技巧.

类型四、与平面向量的交汇型

解析：本题考查平面向量的数量积及线性规划中的最值问题.画出不等式表示的平面区域，由图4可知，目标函数z=y-2x在的取值范围是［0，6］.

点评：本题依托向量的数量积考查了线性规划求最值的一个问题，向量数量积即体现了形的意识，又涉及了数量间的运算性质，该题中可利用数量积的坐标运算将向量最值转化为比较熟悉的线性目标函数求解，体现了数与形的转化思想.

图4

从上述几个问题可以看出，解决非线性目标函数类的线性规划问题的关键是如何转化线性目标函数，将复杂问题转化为熟悉的问题来解决，常用的技巧有数形结合、化归与转化、函数与方程等思想.