运用导数解决不等式问题的几点思考

☉江苏省震泽中学特级教师 郭建理

运用导数解决不等式问题的几点思考

☉江苏省震泽中学特级教师 郭建理

郭建理，现年42岁，本科学历，曾荣获：全国优秀教师、第八届“苏步青数学教育奖”、河南省特级教师、河南省名师，中学高级教师、河南省教育厅学术技术带头人、河南省骨干教师、驻马店市名师、驻马店市人民政府表彰的“新世纪学术技术带头人”等荣誉称号.于2003—2010年任河南省上蔡县第二高级中学教学副校长，现就职于江苏省震泽中学.曾出版多部高中数学教辅著作，任主编、副主编，多篇论文在核心期刊及省级刊物上公开发表.教育箴言：数学使人健脑，数学使人明智，数学使人对世界充满悟性.

近期接上级教育研究部门通知要在全市开展名师展示课活动，作为一名特级教师首当其冲，既要积极踊跃，又要率先垂范.课题定为“导数在不等式问题中的应用”，四个名师同时讲授一节课，就是现在全国各地教研活动中比较与时俱进的“同题异构”，不一样的名师，又如何呈现不一样的精彩？笔者对这节名师展示课的几个环节未雨绸缪，关键部分构思如下.

一、内容确定形势化

学情分析：展示课开课之日高二年级已结束导数一章的教学，学生刚刚学习过导数的应用：导数在函数中的应用，导数在实际生活中的应用，又不等式一章的教学中学生对不等式有解、恒成立这类题型及其解决的思想方法较为熟悉；考情分析：纵观近几年的高考试题，全国二十几套高考数学试卷对不等式方面的考查主要体现在以下三个方面：不等式的解法、不等式的应用、不等式的证明，而利用导数解决不等式问题已成为命题的热点.那么运用导数解决不等式哪些问题？几番辗转反侧，几点灵感显现：课型界定为复习课，既要体现不等式的主要问题，又要体现导数方法的运用，故授课内容确定为函数背景下的不等式有解、不等式恒成立求参数的取值范围和不等式的证明问题.由于前两个问题在不等式一章中，其解题思路学生已耳熟能详，所以教学的重点放在不等式的证明上.

二、问题设计最优化

美籍匈牙利数学家、数学教育家乔治·波利亚在名著《怎样解题》中对课堂上的例题的筛选持有这样的指导性意见：如果老师把分配给他的时间都用来让学生操练一些常规的运算，那么他就会扼杀他们的兴趣，阻碍他们的智力发展，相反地他用和学生知识相称的题目来激起他们的好奇心并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么就能培养学生独立思考的兴趣和习惯，并教给他们某些方法.导数在不等式问题中的应用这节课要培养和强化学生一种数学思想——等价转化的思想，学习运用几种数学方法：构造函数法、导数法、数形结合法、分离参数法等，因此本节复习课的载体——问题的设计要体现出最优化的特点：即问题要具有典型性（能体现通法通解）、层次性（有梯度，学生知识范围内力所能及）、发散性（多角度思考，一题多解）、探究性（拓展研究，知识升华）、综合性（知识交汇、融会贯通）.如解题教学中例题设置为：

例1已知函数f（x）=x3-ax2+10，在区间［1，2］内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，试求实数a的取值范围.

例2已知函数f（x）=ax+ln x，g（x）=a2x2（a＞0），若f（x）≤g（x）对一切x都成立，试求实数a的取值范围.

三、教学过程程序化

中学数学课堂教学中问题和问题的解决是教学的生长点，问题解决式的解题教学流程大致可分为以下几个步骤：预热（创设情境，循序渐进）——审题（获取信息、整合信息）——分析（处理信息，寻求突破）——实施（依据算法，完善流程）——拓展（变式教学，联想分析）——总结（归纳规律，提炼方法）.本节课开始设置了如下热身训练，练习1：不等式|x+1|-|x-2|≤a的解集非空，试求a的取值范围；练习2：若不等式|x+1|-|x-2|≤a的解集为R，试求a的取值范围.前者为不等式有解问题，后者为不等式恒成立问题，让学生在预热中回顾知识，在对比中感知数学.

四、教学方法多样化

本节课是以解题教学为主线的复习课，解题中采用类比、对比、变式教学、一题多解、多题一解、总结、归纳、反思、自主探究等教学方法.

（1）热身训练中1和2的对比.练习1：a≥（|x+1|-|x-2|）min=-3，练习2：a≥（|x+1|-|x-2|）max=3，问题的形式虽差之毫厘，但解题思路却大相径庭.

（2）例1、例2的解题教学预设片段采撷.①题型的对比：例1为一个函数的“存在命题”问题，例2为两个函数的“全称命题”问题.②解决思路的对比：例1中（fx）＜0有解⇔（fx）min＜0，例2中（fx）≤g（x）恒成立⇔（fx）-g（x）≤0⇔［（fx）-g（x）］max≤0.③求解方法的对比：例1中分离参数得a＞x+，构造函数g（x）=x+，利用导数可求g（x）=g（2）=，则a＞；例2中直接构造函数h（x）=（fx）-ming（x），利用导数可求④反思和归纳总结：对例2在参数a无法分离的情况下若转化为（fx）≤g（x）恒成立⇔（fx）max≤g（x）min，因为这里的x对（fx）、g（x）来说是统一的，所以这种转化非等价转化，导致误入歧途而南辕北辙；对例1若利用导数法直接求（fx）min＜0，则将遇到多种讨论，这里采用分离参数的方法化难为易、化繁为简.对不等式有解、不等式恒成立求参数的取值范围的问题，解决时首先运用等价转化思想，通过构造函数的方法把不等式问题转化为求函数最值的问题，然后用导数法求最值，有时要注意分离参数法在寻求突破口时的运用.

五、思路探究主体化

解题教学中思路的探究以学生为主体，面对新的问题，学生有点儿无所适从时，要创设适当的问题情境，唤醒学生已有的知识与新问题的联系，引导学生找到问题的突破口，让学生感到解决问题的金钥匙掌握在自己手中，达到培养和提高学生分析问题、解决问题的能力.为提高课堂效率，教学简案在开课前一天晚上下发，通过学生的预习演练，有利于课堂上师生互动，共同探讨.

六、牛刀小试变式化

数学课堂教学是教师主导下的授之以渔的过程，学生初步掌握了渔的思想方法，若没有可渔的场所，时间长了，则渔技不好使乃至渔技尽失，好像学习游泳只听教练讲解方法而不下水，一遭入水难免动作失灵而尝够苦水.所谓的牛刀小试变式化就是在落实讲练结合时，所选问题的练习强化方向，要体现出课堂教学的生长点，亦即课堂例题的变式训练，通过及时适度的针对练习，以巩固强化课堂教学所得，从而练中有所悟，利于知识的拓展升华.数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”数学课堂通过变式教学，不但使学生能举一反三，而且能使教学结构发生质的变化，使学生成为创造的主人.