层间加层结构振动频率分析

李朝银 张 政 邓 理

(1.内蒙古科技大学建筑与土木工程学院，内蒙古 包头 014010; 2.鞍山三冶建筑工程有限公司，辽宁 鞍山 114000;3.北京沃利帕森工程技术有限公司，天津 300201)

1 层间加层结构

层间加层(一变二)的建筑结构在其使用功能及结构的力学性能都有不可抹去的变化，可以从层高较大的大型商场建筑更改为具有跃层式风格的优雅型住宅或者具有双层使用价值的商品建筑，也可以使原本为大层高的工业厂房跨越成为因为工业需求的双层使用厂房或者住宅，从大层高演变成跃层式住宅，即套内空间跨跃两楼层及以上的住宅，其通过设置户内楼梯连接各楼层。跃层式住宅打破了传统住宅平面格局，引入了面积加体积的空间概念，充分满足了强调生活品质与个性展现这一现代居住观念的需求，成为当前房地产市场时尚的住宅形式，带有强烈现代气息的错复合体结构，既有丰富顺畅的动感层次，又有视觉空间深度;既给人以开朗和清新，又有别墅的豪华品质，让空间与生活更加契合，人性需求得到充分满足。

层间加层后使得原有的结构受力体系及动力特性有了较大的改变，其动力特性的变化对于研究结构的地震作用和动力效应有重要作用，本文探讨了加层建筑和原有的大层高建筑的振动频率和振型的数理关系。在计算和探讨结构的动力效应之前，首先应得知结构的自身特性，而自振周期是结构的一种固有属性，也是结构本身一个很重要的动力特性，由式(1)可见，结构的自振周期与其质量和刚度的大小有关。质量越大，则其周期也越大，而刚度越大其周期就越短。

结构自振频率和周期的关系为:

动力学研究中还有结构自身阻尼对结构的影响，严格来说，有阻尼的结构体系的自由振动不具有周期性，因为在自由振动过程中其振幅不断衰减，直到振动停止。但由于体系的运动是一种往复运动，质点每振动一个过程所需要的时间间隔是相等的，因此把这个时间间隔称为有阻尼结构体系的周期T′，由式(3)可知，体系有阻尼时的自振频率ω′小于无阻尼时的自振频率ω，这说明由于阻尼的存在，使结构的自振频率减小，也就是说使结构的周期增大。

其中，ζ为结构的阻尼比，其计算式为:

在实际结构中，阻尼比ζ的数值一般都很小，其值大约在0.01～0.1之间，因此有阻尼频率ω′与无阻尼频率ω相差不大，在实际计算中近似的取ω′=ω。

2 变层前后结构的自振频率计算比较

结构的质量和刚度是影响结构自振频率的两个关键因素，在计算过程中假使结构的原有构件尺寸不变(最关键的是保持柱子的尺寸不变)来研究加层(变层)前后结构的自振频率间的关系，加层或者变层处理以后如果柱子的几何尺寸和外形保持不变的情况下，结构的质量将有所增加，同时由于变层后质量的分布变化使计算过程中质点数的增加，这使得计算抗侧刚度时计算高度变小，即使得刚度变大，下面以计算例子加以说明变层前后的自振频率关系以及分布状况。

设有以单层打层高建筑，在动力计算或者地震作用计算中假设为单质点体系，结构计算简化模型及计算简图如图1a)所示，横梁刚度无限大，集中于楼面或屋面的质量为m，计算高度为H，设层间柱子总刚度EI=1。

图1 结构体系及计算简图

2.1 单质点自由振动分析

单质点自由振动体系在不考虑阻尼作用的情况下计算的自振频率:

2.2 变层后体系的振动分析

为了能够比较真实地反映其动能性能，结构变为多质点的多自由度体系，并按多质点体系进行结构的动力特性分析。无阻尼自由振动中，只有当:时，才可能得到有限振幅的自由振动。称为体系的频率方程，展开一个具有N个自由度体系的行列式得到一个频率参数ω2的N次代数方程。这个方程的N个根(ω21，ω22，ω23，…，ω2N)表示体系可能存在的N个频率。具有最低频率的振型叫第一振型，第二低频率的振型叫第二振型，等等。全部振型频率按次序组成的向量叫频率向量[ω]:

单层变双层(一变二)后简化模型和计算简图如图1b)所示。

则有:

结构的质量矩阵为:

层间抗侧刚度为:

则频率方程为:

由上式展开得:

解该方程得:

2.3 对H1，m1及m2附不同的初始值进行讨论

以上结果说明在结构的不同位置加层，得到的新结构振动频率和原结构是各不相同的，在变层处理的过程中有时可能因为对

建筑使用的需要会出现轴向作用力的影响，在不变的轴向力作用下，计算结构的振型和频率的方法和无轴向力的体系完全一致，但是在这种情形中运动方程中必须包括几何刚度，即:

频率方程变为:

其中，[¯k]为组合刚度矩阵，体系在轴向力的作用下减小了结构的有效刚度，振动频率因此减小。

3 结语

通过在保持原有结构柱的几何尺寸不变的情况下，分别对沿结构高度方向1/3，1/2，2/3处加层处理后结构的自振频率分析，得到了各自的振动频率，从结果中可以清楚表明，在结构的不同位置加层后的自振频率各不相同，而并非保持不变，且与原结构的频率比值也没有规律性的变化，以此可以在设计中加以重视。

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