基于多重分形的城市地价场构建方法研究

胡守庚 ，成秋明 ，2

（1.中国地质大学（武汉）资源学院，湖北武汉 430074；2.地质过程与矿产资源国家重点实验室，湖北武汉 430074）

基于多重分形的城市地价场构建方法研究

胡守庚1，成秋明1，2

（1.中国地质大学（武汉）资源学院，湖北武汉 430074；2.地质过程与矿产资源国家重点实验室，湖北武汉 430074）

研究目的：基于常规插值方法不可避免造成对数据的平滑,未能客观反映局部地价奇异信息的现状，探索运用多重分形模型构建城市地价标量场，为研究地价空间分布规律提供新的方法借鉴。研究方法：多重分形插值模型。研究结果：（1）城市地价数据主体部分服从近似对数正态分布，两端数据显著偏离对数正态分布，这是有效应用多重分形方法构建城市地价场的前提；（2）插值结果不仅有效地表达了研究区住宅地价空间分布，而且能够很好地度量地价的奇异性分布特征。研究结论：多重分形插值模型弥补了滑动平均方法构建城市地价场的不足，能有效突出地价局部奇异信息，可为社会经济领域类似数据空间场构建提供参考。

土地信息；地价场；多重分形；局部奇异性

1 引言

中国城市土地利用向外延扩张及纵深发展的速度之快令世人瞩目[1]。地价作为城市土地空间利用变化的重要驱动力量直接影响着人们对土地资源的消费和选择[2]，不同区域、不同土地用途地价的差异关系着土地利用的形态发展及变化趋势[3]。在全国房价高居不下且连续高涨的形势下，更是有大批评论关于当前地价与房价关系等诸多涉及地价合理与否的焦点话题[4-6]。正是地价对于城市和社会发展的重大影响力，及时准确掌握地价的空间分布，科学合理评定或预测区域时点地价不仅成为国家和政府当前有效调控土地市场、修订土地利用计划的现实迫切要求[7-9]，也将十分有助于我们从本原上更深层次的认识、理解、模拟土地利用变化，进而实现土地资源可持续利用[10]。

由于城市地价是行政、人口、社会、经济、自然等多因素综合作用叠加的结果，其分布及变化十分复杂，要想相对准确地反映区域地价分布的复杂特征及揭示其变化规律，仅采用整体特征的标度指数描述相距甚远[11]。因此人们在表达城市地价空间分布状态的时候所用术语和内涵上都不完全一致，但都有按照土地质量等级的差异或地价的高低去度量地价变化的愿望，例如数字地价模型[12]、地价梯度场[13]、Land price gradients[14]、效应场[15]等。场的概念来自于电磁场，是一个比较抽象的概念，依据物理学的理论，样点地价是反映城市地价场形成及变化的基本要素，将其视为物理学上的电荷，那么样点周围都会形成以样点为中心的地价场，而城市地价场就是众多样点地价所形成的综合场，而且场是在一定范围里面某种动力学过程产生的，其可以连续可以不连续，并且可以度量，应该存在动力学机制，所以地价场是存在的且是各种作用相互叠加的结果。如城市地价的空间分布是地价在城市发展过程中的经济、社会、自然属性和城市内部介质状态的综合反映，土地开发过程尤其是与土地经营有关的过程往往呈多期性重复发生，每宗地的价格变动以及任何影响因素的变化均有可能导致周边宗地价格的变化或者区域价格的攀升或下跌，这种空间上相关的多次开发活动的叠加作用最终形成复杂的具有多维分布特点的地价空间分布格局，它可采用势能场或标量场的概念来描述[16]，但往往具有时间和空间意义。

长期以来学术界对城市地价时空分布规律的探讨主要利用地理信息系统（GIS）和空间插值方法，其中运用反距离插值（IDW）和克里格插值（Kriging）方法描述地价空间分布是大部分学者的选择[17]，但不同学者使用相同的插值方法却得出不同的结论，对两者的适用性和插值精度持不同意见。比如楼立明分别用泰森多边形方法、距离倒数插值法、普通克里格插值法（Ordinary Kriging）等对余姚市地价进行空间插值，并采用交叉验证法（Cross-Validation）验证不同空间插值方法的估计值效果，认为Ordinary Kriging方法要明显优于其他插值方法[18]。陈思源等采用Ordinary Kriging方法对镇江市地价进行插值，提取地价分布信息，误差分析表明样点地价的对数概率分布接近直线，且均方根标准误差接近于1，认为插值分析结果可信[8]。施建刚在上海市的研究中比较了IDW和Ordinary Kriging插值效果，则得出IDW要优于Ordinary Kriging的结论[19]。尽管仍然还有其他一些克里格方法如Indicator Kriging,Universal Kriging等未被详细比较，但克里格是基于变异函数的一种空间插值方法，实际上是一种滑动加权平均，以空间变异性为原则进行加权平均，因而不可避免对数据造成平滑，这种方法对类似储量计算和参数估计是有效的，对于地价局部异常的分析和识别来说，局部变化信息的压制和抹杀往往会造成有用信息的丢失[20]。此外，Kevin和Pierre-Daniel则采用半参数估计模型模拟地价空间分布[21]，但前提是要使用大量密集分布的地价样点，而这在目前中国的大部分城市的土地市场来说存在困难。还有其他学者采用类似的方法进行过不同区域城市地价空间分布的研究[21-33]。由此，笔者发现，当前刻画城市地价场主要采用传统空间插值方法，它们不可避免造成对数据的平滑,未能客观反映局部地价异常信息，而这些局部异常信息往往是客观存在且具有十分重要的指示意义。例如，针对于区域时点住宅地价分布来说，其局部异常可能来自水体、绿色空间、显著隔断物(如长江、封闭交通走廊)等特殊地理环境要素的差异影响[34-37]，在中国城市快速发展和城市内部地价并不平稳的现阶段，是一个值得特别关注的课题，对地价评定和城市规划等均会产生重大影响，但是截至目前，这方面研究的报道较少。当然，这也是一项非常具有挑战性的工作，其主要原因是地价场是多种作用叠加的表现，而多重分形插值方法在类似的特征和相似成因的地球化学场中得以成功运用并一直保持活跃[38-41]，是一种可以借鉴的方法，因此论文将其引入到地价场的研究当中[16]。

2 多重分形插值模型

多重分形主要运用于定义在几何体上具有自相似或统计自相似的某种场，是单一分形在空间上的相互缠结[42-43]，可再现复杂分形在生长过程中不同层次的特征。多重分形通常是面对象或体对象中的一种测度（μ），如果这种度量具有空间自相似性或统计自相似性，那么这对象就可以被称为多重分形。

在地价场的研究中，多重分形分布模型可以设定如下：假设从某城市内得到一批内涵一致的地价样点，通过对这些样点地价的插值可形成覆盖城市的某种地价场网格数据。记每个网格内地价的平均值为ρ（ε），这里ε表示网格的大小（如正方形网格的边长），则第i个网格内的地价为：

如果地价在研究区内具有多重分形特征，那么地价值μi（ε）与网格大小ε之间将服从幂率关系：

这里∝表示当ε较小时μi与ε成正比，αi是某一有限指数（Local Holder Exponent）。由于每个网格中有对应α值，且不同 α值将对应一组网格，如果用 Nα（ε）表示在网格大小为ε时具有Holder指数α（即地价值为εα）的单元数，则：

明显，f（α）相当于具有尺度μ为εα的区域的分形维数，即多重分形维数谱函数。

由Cheng提出的多重分形插值方法是将奇异性和空间相关性结合起来，不但可以度量局部奇异性，同时还考虑了空间相关性，在处理非奇异性测度时，Ordinary Kriging就成为这一方法的特定情形。其中空间相关指数（自相关，协方差和变异函数）主要是用来刻画插值数据的空间相关性，往往是全局统计相关性。奇异性是另一个指数，它从多维分形的观点来量化测度的尺度不变性特征，与传统地统计方法相比，多重分形方法不仅能够度量场的空间统计性质，而且可以刻划不具备平稳性数据的局部奇异性规律[44]。人们常用半变异函数来测度空间相关性或变化性，如：

式4中，γ（x,h）是位置x和x+h的矢量距离h的函数，可以测度在Z（x）和Z（x+h）之间的均匀变化性。在二阶平稳的假设条件下，半变异函数4就变成x位置的单独的h的函数。这个区域随机变量的假设条件在克里金方法中是普遍要求的。在多维分形中奇异性的内容主要是刻画作为测度尺度变化性的统计行为是怎么变化的。例如，在某一位置计算其邻域值的平均值可能和这些参与计算的值组成的区域面积大小是无关的。在其他情况下，这个平均值可能与其区域面积大小变化成比例。前者的情形我们可以称其为非奇异位置，后者称为奇异位置。采用多维分形模型，奇异指数α（x）是和在位置x周围线性大小ε，Ω（x，ε）小范围内定义的测度相关的。如：

其中c是常数。在2-D的数据中，μ（ε）可以定义为在大小为ε的面积内的金属量。在没有一般性的失真情况下，密度函数 ρ（ε）如：

式6中，E是邻域Ω（x，ε）的维数（E=2就表示2-D图）。对于2-D的问题，可以选择圆形或正方形来表示邻域的范围。奇异值α的范围从αmin到αmax。可以通过在双对数值做μ（ε）和ε的图解，并用最小二乘法拟合成一条直线，其斜率就是估计的指数α的值。估计误差也可以用最小二乘法拟合求得。从式6求得的奇异指数有以下特征[45]：（1）当且仅当 α=E 时，ρ（ε）=常数，与邻域 ε的大小无关。（2）当且仅当 α＜E 时，ρ（ε）∝εα-E是关于 ε的减函数，通常表示在位置x的μ（ε）的图形具有“凸”的特征。（3）当且仅当α＞E时，ρ（ε）∝εα-E是关于ε的增函数，表示在位置x的μ（ε）的图形具有“凹”的特征。

第二和第三种的情况与有奇异特征的情形是相应的，即当ε→0时，ρ（ε）→∞或ρ（ε）→0。当ρ（ε）→∞时，就表示在小面积内（ε较小）有一个高密度的物质富集异常。

式6表明在给定的位置x的密度函数服从尺度单元（矩形的大小ε）的幂率关系式。指数α（x）-E刻画了函数的局部奇异性—随着尺度单元的减小函数是怎样变化的。在有奇异性位置，α（x）≠E，密度随着尺度单元的变化而变化。在这种情况下，常数c成为一个与尺度单元无关的很有用的量，可以看作是密度ρ（ε）在α（x）-E维空间的测度，而不再是奇异值。在非奇异位置，c的值就成为普通的密度值，因此，用定量的c替代ρ（ε）。

为了得出综合空间相关性和奇异性的新的插值关系式，可以在2-D的地价分布小区域内，任意选择邻域Ω（x0，ε）。引入符号Z（ε）来表示在Ω（x0，ε）中的x位置处地价的平均值。Z（ε）是具有普通单位的一种密度测度类型。用Z（ε）替代式6中的ρ（ε）就可以得到：

在x位置可以用关于变量ε的若干Z（ε）来计算常量c（x）。如前面论述的，新的密度量c（x）成为一个非奇异的量。可以构建一个在位置的中心和它们的邻域值之间密度值的关系式如下：

式8中，c（x0）和c（xi）分别是在位置x0和xi用式3求得的密度值，λi（‖xi-x0‖）是确定的加权因子，∑λi（‖xi-x0‖）=1。λ的值可以用反距离加权或克里金方法求得。这里将给出一个新的插值模型并与普通模型相比较。选定一个分辨率ε*（ε*≤ε），用插值法作图，邻域大小为ε*（插值图的象素）内的平均值Z（ε*），可以用在邻域中心位置的实际观测值Zx代替，这个Zx值是与计算值c（x）ε*α（x）-E相关的。用地价的实际观测值代替密度值c得到：

式10是一个广义的加权平均模型，可以从Ω（x0，ε）内中邻域值（Zxi）中计算在Ω（x0，ε）中间位置的值（Zx0），具有以下的特征：（1）如果整个数据集都没有显示出奇异性，即α≡E，那么式7和式10就是等同的，而且和在克里金中普遍使用的普通滑动平均函数以及其他数据插值方法是一样的。（2）如果所有的邻域值都显示出同样的奇异强度，即α=常数，那么式10就变成与在克里金中普遍使用的普通滑动平均函数以及其他数据插值方法是一样的函数关系式。（3）如果邻域的值是非奇异性的，而且在其中心位置没有值，即α（x0）≠E且α（xi）=E，那么式10就等于普通的滑动平均函数与因子εa（x0）-E的乘积：

因子εa（x0）-E修正了普通滑动平均的结果，例如，如果α（x0）＜E，那么在给定的较小的ε条件下，新的结果将通过因子εa（x0）-E而增大，如果α（x0）＞E，那么新的结果会通过因子εa（x0）-E而减小。这样的修正是合理的，因为α＜E和α＞E分别对应的是在位置x周围的面Zx的凸和凹的特征。新的模型9不仅包括反映加权值λ计算结果的空间相关性还包括综合了用奇异指数α刻画的奇异性。很显然，普通的加权平均方法（在IDW和克里格方法中使用的）是式10中表达的特殊情况。因此，可看出该模型有两个明显的优点：不仅仅提高插值结果的精确度而且还保留了插值图形的局部特征。该模型在地球化学和地球物理数据处理和模式识别上已得到成功应用[45]。为此，下文将其用于地价数据的试验研究。

3 实证研究

3.1 研究区概况

武汉市地处华中腹地，位于江汉平原东部，长江、汉水交汇处。地理位置为东经113°41′—115°05′，北纬29°58′—31°22′。武汉市市区被长江、汉水分割形成武昌、汉口和汉阳三个部分。武汉市是湖北省省会，既是中部崛起战略的支点，也是连接中国东西南北的中枢，同时还是国家进行资源节约型和环境友好型社会试点建设——武汉城市圈的核心区。考虑武汉市城区土地市场及地价样点的分布情况，本次研究区域为三环线范围内武汉市主城区。研究区内湖泊、长江等自然隔断物与居住区交错分布，其对地价分布均有明显影响。随着城市社会经济发展和土地使用制度的改革，特别是土地使用权招标拍卖挂牌的全面推进，房地产业以及其他相关产业的繁荣，武汉市商业、住宅和其他产业用地价格近年来出现不同程度的变化。招标拍卖挂牌的商业、住宅价格不断上涨。据武汉市地价监测报告显示，住宅用地地价从2005年到2007年的年均增长率为6.05%，6.15%，7.35%，因此该研究区具有典型的试验研究意义。

3.2 地价样点信息获取及预处理

本文考虑样点分布密度及价格特征等问题，拟选择其中较具代表性住宅用地地价场进行研究，笔者收集了2006年基准地价更新的样点数据和2007年地价监测样点数据共计3460个，其样点类型包括土地使用权出让、新旧住宅买卖以及住宅出租。因为这些数据来自不同的观测时点和不同的调查人，在进行分析之前需要根据样点的属性进行包括样点地价的计算、样点地价修正、样点地价检验剔除等工作。首先需要根据城镇土地估价规程所规定的常规方法和相关标准逐一进行每个时点样点价格计算，其次将样点价格统一修正到研究所确定内涵下的期日价格（2007年1月1日，其余内涵略），在剔除由于调查数据错误引起的明显不合理样点后，将其余样点地价标注于基础底图上，并在ArcGIS 9.3中建立样点的空间位置和修正价格等属性数据库。

3.3 样点地价统计检验

根据研究区数据统计分析显示，城市地价数据主体部分服从近似对数正态分布（图1），然而，图中两端数据显著偏离对数正态分布。而且，杜国明等在呼和浩特市的商业用地研究以及王霞和朱道林在北京市的住宅用地研究中都得到类似的统计规律[28，30]。这与地球化学数据研究中出现的情况类似，前人认为该类型数据具有多重分形分布，即大多数数据具有正态或者对数正态分布，而两端数据服从分形分布[39]。只有数据服从正态或对数正态分布和平稳性，才能有效利用地质统计学方法，否则对两端数据的插值结果将出现偏差。通过寻找这些地价样点在空间上分布以及对比其周边的样点地价值，发现地价样点数据存在局部奇异性，这也就是多重分形插值方法的应用前提。从这个角度上来说，引入多重分形插值方法来度量地价场分布是有优势的，可以克服传统Kriging地统计学方法对局部异常的光滑效应，能更好地突出地价分布的局部奇异性[46]。

3.4 结果与分析

空间插值模型参数的选择对插值结果是有显著影响的，经过多次实验表明：选择窗口算法、半窗体为2.0，衰减系数1.0为该试验数据最有效插值效果参数，其插值结果图如图2（封三）所示。简单直观对比图2和2007年武汉市基准地价分布图，两者总体趋势是比较吻合的。本文为进一步详细说明其预测结果的精度，将从三个方面进行插值结果检验分析。

首先利用统计参数检验插值精度。为检验该方法的有效性，在已有样点中通过交叉验证随机选择10%的样点作为评价数据点，对其余样点进行空间插值，得到评价数据点的插值后预测值，将评价数据点的实际值与插值预测值进行对比分析。比较的单变量统计值包括：平均值、标准差、最大最小值、偏度系数、峰度系数。结果可以看出：（1）从均值和标准差上看,两者差别不大；（2）从最大、最小值看，插值结果接近实际值，说明其变化的范围和实际值比较接近，能较好地反映实际地价；（3）从偏度系数和峰度系数结果来看，实际值，Multifractal插值结果均较大幅度偏离正态分布，这是有意义的，因为这种数据本身并不满足正态分布，插值结果也不应该满足正态分布。

图1 2007年武汉市住宅地价样点QQ分布图Fig.1 The Q-Q plot of residential land price from sam ples in 2007

其次，从实际的检验样点和插值预测值的对应统计数据关系分析其插值结果。通过分析在一定偏差范围内插值结果所对应的检验样点个数以及所占检验样点总数的比例，数据显示使用该方法可获得较为满意的插值结果，如10%偏差百分比范围内占将近40%，20%偏差百分比范围内占63%，35%偏差百分比范围内占83%，可见针对住宅样点地价数据，使用多重分形插值得到的模型精度是有效的。

再次，利用奇异值样点的空间对应关系证明其对突出地价局部异常的有效性。在图2（封三）中，图中所标注的奇异样点与图1中两端偏离样点一一对应，而图2中的奇异样点分布与插值结果图是吻合的，比如图中标注武汉市“东湖天下”楼盘一度成为该片区楼王，而该区域地价异常高的主要原因就是东湖水域的影响，这种由于特殊地物造成的地价出现局部奇异值是经常会遇见的且不容易被度量，插值结果显示其与实际完全吻合，这说明多重分形插值不仅仅具有较高的插值结果精确度，而且还保留了插值对象的局部特征，后者是识别地价异常信息的基础，这对于分析地价变化的原因是非常有意义的。此外，如果整个数据集都比较平均，没有显示出奇异性，这时普通的滑动平均方法可以看作是多重分形插值的特殊情况。从实际的分析来看，对于样点地价这种具有奇异性特征的插值对象来说，多重分形插值方法能有效地表达其分布。

4 结论与讨论

（1）从样点地价的统计特征图来看，城市地价数据主体部分服从近似对数正态分布，两端数据显著偏离对数正态分布，前人认为该类型数据具有多重分形分布，即大多数数据具有正态或者对数正态分布，而两端数据服从分形分布，这是有效应用多重分形方法构建城市地价场的前提。（2）从理论上来说，多重分形插值方法不仅仅可以提高插值结果的精确度，而且还保留了插值图形的局部特征，而这正符合研究具有空间局部奇异性地价分布的需要，具有广阔的应用前景。（3）通过交叉验证及空间对应关系实证分析，研究发现插值结果有效地表达了武汉市主城区住宅地价空间分布，能够很好地突出由于实际自然地物造成的地价奇异性分布特征，弥补了滑动平均方法构建城市地价场的不足，为社会经济领域类似数据空间场构建提供参考。（4）文中只选择住宅地价场进行实证研究，可能会有一些偏差，针对不同城市区域、不同用途地价场的构建效果研究还有待进一步深入。此外，开展与其他各类方法插值结果的详细对比研究将是下一步研究的方向。

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Developing Urban Land Price Field Using M ulti-fractal M ethod

HU Shou-geng1,CHENG Qiu-ming1,2
（1.Faculty of Earth Resources,China University of Geosciences,Wuhan 430074,China;2.State Laboratory of Geological Processes and Mineral Resources,Wuhan 430074,China）

The purpose of this paper was to explore amulti-fractalmethod to characterize urban land price field for its spatial distribution in the context of that the conventional interpolation method inevitably smoothed the data set and concealed the realities of local anomaly information.Multi-fractal interpolation model was employed in the paper.The results indicated that 1）themain parts of urban land price data were approximately lognormal distribution.Both ends of the data significantly deviated from the lognormal distribution,which was the precondition for applying the multi-fractal method to characterize urban land price distribution;2）the interpolation result not only effectively characterized the spatial distribution of urban residential land price,but also actively measured the singularity of the land price distribution.Itwas concluded thatmulti-fractal interpolation method could make up for the disadvantage of average smoothing method,which could highlight the local singularity information of land price distribution.This method could be used as references for characterizing the spatial distribution of similar socio-economic data.

land information;land price field;multi-fractal;local singularity

F293.2

A

1001-8158（2012）01-0038-07

2011-04-30

2011-12-07

国家自然科学基金青年基金项目“基于多重分形理论的城市住宅地价场演化特征及其局部异常信息识别”（41101535）。

胡守庚（1978-），男，浙江庆元人，博士，讲师。主要研究方向为土地资源调查评价、土地信息科学。E-mail:husg2009@gmail.com

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