再谈人起立过程中地面是否做功问题

项其杰

（江苏省太仓市高级中学 江苏 苏州 215400）

“起立”这个动作人们每天都要做很多次，但对于此过程中地面是否对人做功这个问题，不少人都会认为：地面对人有支持力作用，人起立过程中重心又上升了一段距离，因此地面对人做了功.其实，问题在于对功的认识并不到位，因而不能给出正确的回答.

下面，笔者从两个不同的角度对该问题进行分析，并对地面在该过程中到底起到怎样的作用做一些初步的探索.

1 突出位移——深入理解功的概念

在高中物理教材中对功是这样定义的：如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功.这句话的主语是“物体”，因而对于定义中的“位移”，自然也就很容易被人理解成是“物体的位移”.其实，这里的“位移”应该是指“力的作用点的位移”，它不能被简单地看成是“物体的位移”.

图1

图2

如图1和图2所示，两图中物体均在拉力F的作用下沿水平面运动，且拉力的大小和方向均保持不变.图1中拉力作用点的位移与物体的位移相等，而图2中拉力作用点的位移s′＝2scos，与物体的位2移并不相等.事实上，对于单个质点来说，“物体的位移”与“力的作用点的位移”是统一的.但是，当物体不能看作质点时，功的概念中的所指位移就只能是“力的作用点的位移”.人在起立过程中，由于躯干与腿和脚等部分的运动并不相同，人不能再当成一个质点来处理，而应该对脚部（支持力的作用点所在处）进行研究；但是脚又始终没动，因此支持力的“作用点的位移”为零，地面对人自然也就没有做功.

从功能关系的角度来讲，如果地面对人做了功，那么地面的能量就会有所减少，转化为人的机械能.但实际上地面的能量并没有发生任何变化，可见地面并未对人做功.一个不争的事实是：无论如何也不可能不用做任何的“努力”，而仅仅指望着地面会自发地对人做功，从而使人能够站立起来.

2 构建模型——创新分析在人起立过程中到底谁对人做功

既然人起立过程中，地面并未对人做功，那么到底是什么力对人做功了呢？又是什么形式的能量转化为人的机械能呢？借助下面两个力学模型，可以说明问题.

如图3所示，人起立之前呈曲膝下蹲姿势，可设膝关节弯曲的角度为θ.起立过程中由于大、小腿部的肌群收缩，对膝关节产生作用力，可近似认为它们的合力F的方向水平向左.很明显，在人起立过程中力F对人做了正功，从而将人体内的化学能一部分转化为人的机械能（另一部分转化为内能）.

图3

在图3的基础上进一步将力学模型抽象，可得到如图4所示的简化模型：人腿相当于一根处于压缩状态的弹簧，上半身和脚部则分别相当于质量为m1和m2的两个物体A和B.人起立时腿部肌群的作用力做功的过程，就相当于模型4中弹簧恢复形变的过程.此时弹簧的弹力对外做正功，将弹性势能转化为m1的机械能，这就相当于人腿部肌群的作用力做功时，将人体内的化学能一部分转化成了人的机械能.

图4

可见，在人起立过程中对人做功的实际上是人的内力.其实，关于人的内力做功的例子还有很多，如跳高、跳远、跑步、蹦床、荡秋千、爬杆、骑自行车等过程，人的内力均对人做了正功.

笔者也见到有些人利用动能定理的知识来判断，过程如下.

式中W外为外力功，WFN为支持力的功，WG为重力功，ΔEk≥0，又因为人起立过程中重力做负功，故

所以他们得出结论WFN＞0，即支持力对人做正功.

得出这一错误结论的原因主要是不了解质点组的动能定理，其表达式为W外＋W内＝ΔEk，即质点组动能的增量在数值上等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和.在高中物理教材中所讲的动能定理其实是指单个质点的情况，而对单个质点来说，所有的力均为外力；因此久而久之，很多人就容易以偏概全，误以为质点组动能的增量在数值上也等于合外力所做的功，从而利用W外＝ΔEk来进行判断；殊不知质点组动能的改变完全可以通过内力做功来实现.

3 拓展思维——初步探索地面在人起立过程中所起的作用

既然人起立过程中对人做功的是人的内力，而非地面，那为什么人又总要在脚着地时才容易站起来呢？若脚不着地人还能“站起来”吗？地面在人起立过程中到底起到什么样的作用呢？借助图4所示的简化模型，可以进行一些初步的探索.

由于人在一次起立过程中最多能够转化多少能量出来是由他自身的能力决定的，对于一个确定的人来说，可以近似地认为该能量是一定的.对应到图4所示的模型中，不妨就可以设弹簧弹性势能为某一个定值Ep.如果人脚着地，那么图4中B的速度可认为始终为零，人起立过程中弹性势能Ep就全部转化为A的机械能.如果人脚不着地，且不借助其他外力，A又会获得多少机械能、多大的速度呢？

为了更好地计算A获得的机械能以及速度的大小，以人的质心为参照建立坐标系（非惯性系）.由于地球引力的作用，该质心会以加速度g自由下落.因而在这一坐标系中，A和B除受到自身的重力m1g和m2g之外，还要分别受到向上的惯性力F1＊＝m1g和F2＊＝m2g；A和B组成的系统还应满足动量守恒.

设弹簧恢复形变时A和B在质心系中的速度分别为v1和v2，利用动量守恒和能量的知识，可列出下列两个方程

解方程组可得到A的动能Ek以及它在质心系中的上升速度v1分别为

很显然Ek＜Ep，说明此时人上半身获得的机械能小于脚着地时的情况.

若再进一步设弹簧恢复形变所需的时间为Δt，则该过程中质心的速度变化量为Δv＝gΔt.由此可求出A此时相对于地面的速度为

对不同的人来说，Ep和Δt的取值一般是不同的.因此，上式中A的对地速度v就可能为正值、负值或为零.若v＞0，则表示人的质心虽然向下运动，但人的上半身A的对地速度却是向上的.那么在地面上的其他观察者看来，该人看上去就好像在向上“站起来”.若v＝0，则该人看上去就好像在同一高度上“滞空”了一段时间.

央视第10套节目在2008年7月12日做过一台节目——“体育科学·超级飞人”.科学家分析了迈克尔·乔丹的罚球线起跳扣篮视频.如图5中所示，在起跳升高时，乔丹的身体并不是完全舒展开的，到达最高点后，在即将要开始下落时，通过肌肉的力量将略微缩起的身体完全舒展开，使得他的上身可以保持短暂的高度停留（仔细观察图5中的中间三个姿势，其头部几乎处于同一高度上），视觉上就好像人“停滞”在空中一样.

图5

由此可见，在人脚不着地，且不借助其他外力的情况下，即使是像乔丹这样最优秀的篮球运动员也只能做到短暂的滞空，即v＝0的情形；普通人要想做到v＞0的情形，那几乎是不可能的.到此，就不难发现：在人起立过程中，地面虽不对人做功，但正是由于地面的作用，才使得更多的能量转化为人上半身的机械能，人自然也就更容易站起来了.

1 漆安慎，杜婵英.力学基础.北京：高等教育出版社，1982

2 丁英伟.人走路时静摩擦力做功吗.物理教学探讨，2006（21）

3 刘胜.浅析几种内力做功问题.物理教学探讨，2010（6）