力系平衡是刚体平衡的充要条件吗

于世新 越彩霞 刘国荣

（辽源市第五中学 吉林 辽源 136200）

1 问题的提出 分析和结论

文献［1］是国内高校物理专业主流教材之一，其中关于刚体的平衡有如下的叙述：

处于静止的刚体既没有平动，也没有转动.因此，刚体平衡的充分必要条件是它所受的合外力为零，对任意一个参考点的合外力矩为零，即

矢量式（1）和（2）各相当于3个分量式，后者包含了“必须对任意方向的转轴都成立”的意思.这样的力系称为零力系，零力系的条件式（1）和（2）称为刚体的平衡方程.

文献［2，3］亦有类似的说法.

文献［4］关于刚体的平衡有如下的叙述：

作用在刚体上的力系，总可以化为经过质心的一个单力及一力偶，而由刚体运动微分方程，即质心运动定理

及对质心的转动定理

知前者将决定刚体的质心如何平动，后者决定刚体相对于质心如何转动.刚体平衡时，必须满足下列平衡方程

即诸外力的矢量和为零和诸外力对任意一点力矩的矢量和亦为零.

从以上叙述中能看出，文献［1～3］均认为诸外力的矢量和（主矢）为零和诸外力对任意一点力矩的矢量和（主矩）为零是刚体平衡的充要条件，而文献［4］中虽未明确指出，但从“刚体平衡时，必须满足下列平衡方程”的用词上，应该理解为必要条件而非充要条件.

笔者认为，文献［1～3］对刚体平衡条件的叙述是错误的，其错误在于混淆了力系平衡的充要条件和刚体平衡的充要条件，而没有注意到刚体平衡除了要求力系平衡，还要满足一定的初始条件.一个明显的例子就是，某一刚体不受力，当然满足力系平衡条件，但是可以绕静止（或匀速运动）的质心轴做匀角速转动，即不是处在平衡状态.关于这一点，早在1949年，文献［5］中就有明确的论述：

作用在刚体上的空间力系的平衡条件，或者这些平衡条件的特殊情形，一般说来，不能作为物体在这些力系作用下的平衡条件.以后在刚体动力学中，我们指出，刚体在力系平衡的条件下是可以运动的.

可以看出，力系平衡只是刚体平衡的必要条件.如果要使力系的平衡条件同时是刚体的平衡条件，那就必须假定，刚体在受到力系作用以前处于平衡状态，即刚体平衡的充分必要条件是，在初始时刻刚体静止，力系的主矢和对任意点的主矩在某时间段内等于零.

2 对刚体平衡充要条件的证明

刚体的平衡包括静止和做匀速运动，对后一种情况，可选一相对于刚体静止的惯性参考系，这时刚体仍可看作是静止的.对刚体平衡充要条件的证明主要有以下3种方法.

2.1 矢量力学方法

必要条件［6］：刚体静止，则其质心加速度为零，刚体对任意点的角速度始终为零，角动量当然不变.根据质心运动定理，外力的矢量和（主矢）为零；根据对定点的转动定理，对任意点的主矩为零.故力系的主矢和对任意点的主矩均为零是刚体平衡的必要条件.

充分条件［6］：若原来静止的刚体受外力的矢量和为零，则质心加速度为零；又若外力对质心的力矩和为零，根据对质心的转动定理，对质心的角动量不变，且仍为零，导致角速度不变，且仍为零，于是刚体继续保持静止.这是刚体平衡的充分条件.

充要条件：从以上看出，刚体平衡的必要条件是力系的主矢和对任意点的主矩均为零，而原来静止的刚体平衡的充分条件是外力的矢量和（主矢）以及外力对质心的力矩和为零.想把它叙述成充要条件，必须把必要条件和充分条件的表述统一起来.这不但容易做到，而且这样做会导致对问题的理解更加深刻.因为若对于质心，MC＝0，则在F＝0的条件下，对于任意点，合力矩M都等于零.所以，F＝0和对任意点M＝0又是刚体平衡的充分条件.因为F＝0和MC＝0是基本方程式，而对任意点的M＝0是由F＝0和MC＝0推导的，这也正是求解刚体平衡问题时最多只能列出6个独立方程的原因.

需要补充的是，当刚体做定轴转动时，如果对轴的外力矩为零，则刚体做匀速转动，这叫做转动平衡.但转动平衡并不是真正的平衡，因为首先它不满足平衡的定义（刚体是一个质点系，刚体平衡时其中每一个质点也必须平衡，匀速转动时除转轴外，其他的质点并不平衡）；其次，还可能不满足F＝0的条件（很多工科教材正是据此讨论定轴转动时轴的动反力）.只有当转轴为惯量主轴时，才能满足F＝0的条件，叫做动平衡，动平衡也不是真正的平衡.当刚体做定点转动时，如果无外力矩，当刚体绕惯量主轴转动时，转动是动平衡的，不存在驱使转动轴改变方向的趋势，角速度大小也不变.当刚体并不是绕惯量主轴转动时，转动不是动平衡的，存在着驱使转动轴改变方向的趋势，并且因为没有轴承加以抵制，这趋势实际上也就实现了，从而刚体的转动轴是变的，这正是欧勒－潘索情况.因此，无外力矩刚体的定点转动状态也不是平衡状态.

以上证明是在刚体已静止的初始条件下作出的，没有从动力学普遍方程加以演绎，证明是略显单薄的.

2.2 分析力学方法之一［5］

2.2.1 对虚位移原理的证明

文献［5］给出了对虚位移原理的证明，不再赘述.文献［7，8］亦有类似证法.

2.2.2 自由刚体平衡的充要条件

文献［5］对此写道：

现在讨论一种特殊的质点系，就是刚体.在这里，拉格朗日平衡条件最好写成

其中Fν是主动力，而δrν是刚体内质点的虚位移.由运动学可知，自由刚体的任何位移可以分解成两部分，一部分是等于刚体中某点（基点）位移的平动，另一部分是绕一条通过基点瞬时轴的转动，就是说δrν＝δr0＋δφ×rν（7）

在式（7）中，δr0是平动矢，而δφ是刚体无限小转角的矢量.把式（7）代入式（6），得到

因为δr0和δφ是和累加的指数无关的，而且在混合积中可以把乘子轮换，即

虚位移δr0和δφ是彼此无关的，因此，由式（8）可得

这就是在第五章中用初等方法导出的，自由刚体平衡的充要条件……

这种证法是先从质点的平衡条件出发，证明理想双面约束下的虚位移原理（即静力学普遍方程或拉格朗日原理），再从理想双面约束下的虚位移原理出发，对自由刚体平衡的充要条件加以证明.这种证法的优点是比较简洁，缺点是没有从动力学普遍方程加以演绎，自然也不够丰满.

2.3 分析力学方法之二［9］

1 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程·力学（第二版）.北京：高等教育出版社，2004.189

2 李心宏，等.理论力学（第三版）.大连：大连理工大学出版社 ，2004.59

3 肖士珣.理论力学简明教程.北京：人民教育出版社，1979.134～135

4 周衍柏.理论力学教程（第二版）.北京：高等教育出版社，1986.171

5 （苏）A·A·柯斯莫节米扬斯基著.钟佐华，等译.理论力学（上册）.北京：高等教育出版社，1955.266，274～276，281～282

6 漆安慎，杜婵英.普通物理学教程·力学（第二版）.北京：高等教育出版社，2005.244

7 萧龙翔，贾启芬，邓惠和，等.理论力学.天津：天津大学出版社，1995.366～367

8 南京工学院，西安交通大学.理论力学（下册）.北京：人民教育出版社，1979.212～214

9 （俄）A·Π·马尔契夫著.李俊峰译.理论力学（第三版）.北京：高等教育出版社，2006.73～74，75～76，214～216，80