关于选票问题古典概型的教学设计

库在强

(黄冈师范学院数学与计算机科学学院，湖北黄州438000)

0 引言

概型(Schema)是随机现象的数学形式，它不是实际问题本身，而是实际问题的数学抽象.对于现实世界中的随机现象，要想进行数学理论研究，首先必须确定其概型.概率论中著名的“选票问题”就是一个典型概型，其内容是:假定在一次选举中，候选人甲得m票，候选人乙得n票，且m ＞n，试求下列事件的概率:

(1)事件A:在计票过程中，甲、乙的票数在某个时刻相等;

(2)事件B:在计票过程中，甲的票数最终比乙的票数多;

(3)事件C:在计票过程中，甲的票数始终不落后于乙的票数［1］.

1 计算选票问题概率的一种特殊教学设计

定义1 非降路径［2］:在二维直角坐标系xoy中，从起点O(0，0)始终沿x轴正方向或y轴正方向移动一个单位长度，达到终点T(m，n)的路径.

根据多重集S={m·x，n·y}的全排列数即可证.

特别地，当m ＞n时有如下结论引理2，引理3，引理4.

引理2 从点O(0，0)到点T(m，n)至少一次接触直线y=x的非降路径数

证:将符合条件的非降路径分为两类:(N1=N11+N12即可证)

第一类，经过点O1(0，1)，它等价于多重集S={m·x，(n－1)·y}的全排列数第二类，经过点O2(1，0)，将其第一个接触点Q与起点O之间的部分沿直线y=x对折，则变为第一类，非降路径数N12=N11.

引理3 从点O到点T(m，n)除端点外不接触直线y=x的非降路径数，

证:N2=N － N1.

引理4 从点O到点T(m，n)不穿过直线y=x的非降路径数

证:将坐标原点O平移至O2(1，0)，在新坐标系下，T点的坐标变为(m+1，n)，且不穿过直线y=x的非降路径变为除端点外不接触直线y=x的非降路径用m+1替换N2中的m，即可得N3.

(1)事件A包含的样本点与从点O(0，0)到点T(m，n)至少一次接触直线y=x的非降路径一一对应，由引理2知，其样本点数为N1.

(2)事件B包含的样本点与从点O(0，0)到点T(m，n)除端点外不接触直线y=x的非降路径一一对应，由引理3知，其样本点数为N2.

(3)事件C包含的样本点与从点O(0，0)到点T(m，n)不穿过直线y=x的非降路径一一对应，由引理4知，其样本点数为N3.

由古典概型的概率定义知，P(A)=N1/N;P(B)=N2/N;P(C)=N3/N化简即可.

2 选票问题的迁移性学习

利用该模型的思想方法，引导学生进行迁移性学习，易解决下列问题［3］:

(1)袋中装有a只白球及b只黑球，且a＞b，从袋中一个个把球取出(不返回)，直至把球全部取出.求在整个摸球过程中，得到相同个数黑、白球的概率.

(2)掷均匀硬币n次，求总共掷出m次正面(m＞n/2)且在整个投掷过程中掷出反面次数总小于正面次数的概率.

该问题是选票问题中求事件B概率的等价描述，用n－m替换m，所求概率为

(3)售票处有2n个人排队买票，其中n人只有一张币值1元的钞票，其余n个人只有一张2元钱的钞票.开始售票时售票处无钱可找，而每个人只买一张1元钱的票.求售票处不会找不出钱的概率.

该问题是选票问题中求事件C概率的等价描述，用n替换m所求概率为

(4)袋中装有n只白球和n只黑球.从袋中将球一只只取出(不返回)，直至球全部取出.求在摸完所有球之前，摸出的白球只数总比摸出的黑球只数多的概率.

记事件W={在摸完所有球之前，摸出的白球只数总比摸出的黑球只数多}，事件W1={摸出第一只球是白球}，且;W2={n－1只白球和n只黑球，摸出的白球只数总比摸出的黑球只数多}将白球与黑球互换，事件W2变成事件W3={n－1只白球和n只黑球，摸出的黑球只数总比摸出的白球只数多}.在选票问题中事件 C中，用 n替换 m，用 n－1替换 n可求.事件 W3的概率，，所求概率

3 选票问题的推广性学习

由于现实问题的复杂性，同一问题可用多种概率模型来描述.以上只是笔者对古典概型—选票问题在m＞n条件下的一点认识，至于在m≤n条件下，事件B、C为不可能事件，换一个角度，考虑侯选人乙的得票情况，类似地可得事件A的概率为

［1］ WilliamFeuer.概率论及应用［M］.胡迪鹤，译.北京:科学出版社，1964:11.

［2］ Richard A.Brualdi.组合数学［M］.冯舜玺，译.北京:机械工业出版社，2002:1.

［3］ 王梓坤.概率论基础及应用［M］.北京:科学出版社，1976.