数学教学中的分类与划归思想

韩新社

（武汉船舶职业技术学院公共课部，湖北武汉 430050）

数学工作者面临的数学问题浩如烟海，也是千变万化，且新的问题层出不穷。随着科学技术的发展，人们逐渐使用“题库”来贮存数学问题，然而要一个人对里面的问题一一作答，恐怕耗尽毕生的精力也于事无补，更何况题库相对于已有的数学问题其容量也只不过是沧海之一栗。

上述事实告诉我们：在教学中企图“以多取胜”，师生忙碌于题海之中是不足取的。任何“重知识，轻方法，重结论，轻思想”的作法，也是没有出路的。

在科学技术高度发展的今天，我们的数学教学一定要适应时代的需要。这就要求我们教师把数学思想、方法贯穿于教学的始终，从而培养学生自觉提出问题并解决问题的能力。最终培养出具有自我发展能力的新型人才。

解决问题所需要的特殊手段叫技巧，技巧只能在某些问题中发挥特殊的作用。解决一类问题可采用的共同手段叫方法。而指导我们解决问题的最深层的精灵就是思想。方法和思想在一定范围内有通用性。方法要在实践中不断完善、创新，而思想则经久闪耀着不灭的光辉。一般说来，技巧累积到规律化的程度就出现了方法，方法升华到通用性的境地就形成了思想。技巧永远走在方法的前面，而方法永远是思想的先导，它们都是长期社会实践的产物。

人类在长期解决数学问题的进程中，总结出了许多解题方法（如待定系数法、数学归纳法等），形成了许多数学思想。形象地说，一个方法就像一把钥匙，一把钥匙只能开一把锁。如待定系数法，仅能解决知道结果形式的问题；数学归纳法只能解决与自然数有关的问题。而数学思想就相当于制造钥匙的原理。如果把技巧比作交通工具，方法比作交通方式，那么思想就是指示方向的路标和灯塔。解决任何问题无不是在某种思想的指导下进行的。

在教学实践中，我们深深地体会到：只有用数学思想武装起来的学生解决问题才有远见和洞察力，只有把人类积累的思想财富运用于课堂教学的始终，才能使我们的教学朝气蓬勃，充满生机。才能叩开学生思维的大门，培养他们的创造意识，才能把课堂变成同学们吐才露华的幸福乐园。

1 把分类的思想贯穿于教学的始终

高职生有一个弱点，那就是害怕讨论问题。虽然他们有时也能把问题分成几种情况去加以解决，但在绝大多数情形下，都是一种被动的模仿。当问及为什么要那样分时，他们往往答不上来，且解答不全的情况时有发生。至于遇到一个需要分多种情况讨论的新问题，大多会没有思路、束手无策。通过教学发现，学生不能自觉地讨论问题，是因为同学们不了解讨论背后的思想——分类。

1.1 问题的论域与分类

人类解决任何问题都是在一定的范围内进行的，这个范围就是问题的论域。当人们在整个论域里解决问题遇到困难时，往往先把论域划分为若干种情况。然后对各种情况一一作答。由于划分后每次解决问题的范围小了，且各种情况都有自身的特性，因此解决起来容易些。当这种办法重复使用于各类问题中后就形成了一种思想——分类的思想。显然，分类的作用就是化整为零，分而治之，各个击破。

数学问题的论域往往表现为一个大集合——全集。分类就是将大集合分为一些小集合，每个小集合叫一个类，分类要选取一定的标准（依据），不同的标准就产生了不同的分类。在教学中我们要有意识地灌输分类的思想。如讲函数的性质时，我们是以函数的奇偶性为标准把函数全体分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数和既奇又偶函数四大类。又以周期性为标准把它们分成周期函数和非周期函数两大类的。又如在研究直线与平面的位置关系时，我们选取公共点的多少为标准将其分为平行、相交和在内三类，然后再逐步研究就顺利达到了目的。

1.2 分类与讨论

把数学问题进行分类，然后逐一求解的过程叫讨论。显然分类是讨论的先导和源泉。数学中需讨论的问题是非常多的，我们在教学中每次都注意站在分类思想的高度对学生解题的过程及思维进行指导，经过长时问的培养，学生的思维能力有较大的提高。他们害怕讨论问题的程度大大降低。如在学习不等式证明时，例题“已知a∈R，求证f（a）＝a8－a5＋a2－a＋1＞0。”结果大多数同学都用分类思想顺利地作了证明。如有一位同学证明道：“（按a的取值分类）①当a≤0时，－a5－a＞0⇒f（a）＞0显然成立；②当a＞0时，若a＝1⇒f（a）＝1＞0；若a∈（0，1）有a2，a5∈（0，1）且a2＞a5⇒f（a）＝（1－a）＋（a2－a5）＋a8＞0；若a＞1，有a8＞a5，a2＞a⇒f（a）＝（a8－a5）＋（a2－a）＋1＞0”。

1.3 染色、赋值与分类

解题时经常给事物染色、赋值。事实上，给事物染色就是给事物分类；赋值虽不是直接给事物分类，但赋了值后，每个事物都有一个数值代表，而数集通常易于分类，所以赋值的目的仍然是为了分类。如给一排树上编1，2，3，…号，就是给树赋了值，而赋了值就能轻易地进行奇偶分类。由此看来，染色和赋值等手段的实质都是为了分类。另外设计抽屉也是分类，这样讲就能使学生获得较高层次的统一的思想认识，在以后的解题中就能化为一种自觉的指导。

2 用化归思想驾驭教材

所谓化归就是把面临的问题化解开来，归结为一个或几个已解决了的问题或简单易解的问题。人们解决问题时都自觉不自觉地用到划归的思想，当我们遇到一个陌生的问题时我们总是把它与我们熟悉了的模式、方法挂钩。更一般地，人类知识向前演进的过程中，无不是化新知为旧知，化未知为已知的。从这个意义讲，化归是一种具有广泛的普适性的深刻的数学思想，也是我们解决教学问题的总策略。它不但在科学家的发明创新中显示了巨大的作用，就是在学生的解题过程中也有普遍的指导意义。

在教学中，我们十分注意化归思想的教学。在宏观上，我们指出解决立体几何问题总是把空间问题转化到某一平面上去，再用平面几何的已有结论去解决；解决解析几何问题，又总是通过建立坐标系，把几何问题化归为代数问题去解决；解复数问题，总是用代数形式或三角形式把其化归成实数问题或三角问题加以解决的。作辅助平面、建立坐标系及用代数（三角）式都是在创造化归的条件，由此可见，创造“一定条件”是实现化归的技术和关键。

在微观层次上，我们也十分注意对学生化归意识的培养。比如我们在讲“加法定理”一节时，先对公式Cα－β进行了认真推导。接着我们要学生自己推导公式Cα＋β，同学们由于没有化归意识，大都模仿Cα－β的推导思路，在坐标系中画单位圆进行繁杂的推演。我们马上告诉同学们，由于“减去一个数等于加上这个数的相反数”，就有Cα－β＝Cα－（－β），这时若把（－α）看成一个整体，就可应用已证明了的公式Cα－β去证明Cα＋β了。当然这里Cα－β中参数角β具有任意性是关键。等同学们证明出来后，我们进一步告诉他们，已知互逆的两种运算中一种具有某种性质，推导另一种运算的类似性质时可考虑用化归思想，无需另起炉灶。其条件是：“减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数…及其参数的任意性”。此外，在建立了公式后，我们告诉同学们，本公式为把正、余弦的问题互相转化提供了契机。于是再要同学们推导Sα－β时，有一部分同学就能自觉地把Sα－β通过公式转化到用Cα－β加以解决，并把Sα－β转化成Cα－（－β）去解决。至此我们继续指出，加法定理公式系统中几十个公式全是用“母”公式Cα－β通过化归的方法推导出来的，从而使学生体验到数学思想的和谐之美。

3 结 语

反复的实践使我们认识到，数学思想是数学的灵魂。思想和方法是数学的重要基础知识，也是学好数学的重要武器。只有在教学中不断暴露思维的过程，用思想驾驭教学内容，才能提高思维水平，减少思考问题的强度，提高思维的自动化程度。才能把学生教活，在学生身上产生自我发展机制。只有强化思维的自我意识，用数学思想武装的学生，才有内溢的意识流，才能在解决问题中表现得机智灵活，产生四通八达的思维境界。因此，我们认为只有努力让数学思想、方法闪现在教学过程的始终，才能使我们的教学充满活力。

1 王栋.论数学课堂教学实践探索［M］.华东师大出版社，2009，（12）

2 王安.数学教学案例分析［M］.福建教育出版社，2008，（12）

3 张奠宙等.数学教育学［M］.江西教育出版社，1996.

4 傅前晓.数学教学新理念［M］.中国人民大学出版社，2008，（11）