基于扩展卡尔曼滤波的机动目标跟踪研究*

张 蕊 史丽楠

北京航空航天大学宇航学院，北京 100191



基于扩展卡尔曼滤波的机动目标跟踪研究*

张 蕊 史丽楠

北京航空航天大学宇航学院，北京 100191

针对雷达导引头跟踪机动目标问题，建立了一种适于高机动目标探测的非线性系统模型，采用扩展卡尔曼滤波算法推导适用于弹载脉冲多普勒雷达机动目标探测的滤波模型，用以估计俯仰失调角、方位失调角、弹目相对速度和距离等信息，利用系统数学模型对目标加速度及弹目视线角速率进行解算估计。对标称弹道和极限弹道的跟踪仿真表明，所建立的系统模型和滤波设计方案，能够处理真实飞行中存在的部分信息缺失问题，对于极端情况下的遮挡问题也能在一定时间内保证较高的跟踪精度。

扩展卡尔曼滤波；当前统计模型；机动目标跟踪；脉冲多普勒雷达

雷达导引头机动目标跟踪指的是角度跟踪、速度跟踪和距离跟踪。在机动目标跟踪中，卡尔曼滤波可在线性高斯情况下利用最小均方误差准则获得目标的动态估计[1]，但实际系统中观测数据与目标动态参数间一般是非线性关系，需要利用线性化方法将非线性滤波问题转化为近似的线性滤波问题。最常用的线性化方法是泰勒级数展开，所得到的滤波方法即是扩展卡尔曼滤波, 早在1996 年Garrison就提出了采用扩展卡尔曼非线性滤波( EKF) 进行卫星编队飞行的相对导航设计方法[2]。

目标运动模型是滤波算法的基础，Singer模型[3]采用有色噪声模型，比白噪声描述机动加速度更为切合实际，但只适用于等速和等加速范围内的目标运动，对于超出此范围的运动，模型误差较大。Jerk模型的实质是在通常三维状态向量增加一维向量即加速度变化率,研究发现Jerk模型在跟踪具有阶跃加速度变化率的目标时存在稳态确定性误差问题[4-5]，把机动看作是半马尔科夫过程描述的一系列有限指令，指令由马尔可夫过程的转移概率确定，转移时间为随机变量。Kendrick等把机动目标法向加速度的大小描述为非对称分布的时间相关随机过程[6]，状态方程是非线性的，但白色高斯过程能直接传播，且能保持概率密度函数的非对称性质。周宏仁提出了机动目标“当前”统计模型[7]：当目标以某一加速度机动时，下一时刻的加速度取值是有限的，且只能在“当前加速度”的邻域内。由于该模型采用非零均值和修正瑞利分布表征机动加速度特性，因而更符合实际。随着这些技术的发展，扩展卡尔曼滤波已在卫星导航、惯性导航等领域被广泛应用。文献[8]采用卫星轨道姿态一体化确定的扩展卡尔曼滤波算法对轨道和姿态进行估计，文献[9]设计了扩展卡尔曼滤波器，以二位置对准为例，比较了高保真非线性误差模型与线性模型和大方位误差模型的滤波效果。

本文基于目标运动的物理过程和当前统计模型理论，建立雷达跟踪系统的角度跟踪和距离速度跟踪系统数学模型。采用扩展卡尔曼滤波算法推导适用于弹载雷达机动目标探测的滤波模型，用以估计俯仰和方位失调角、弹目相对速度和距离信号等信息，并对目标加速度及弹目视线角速率进行解算。

1 状态方程建模

1.1 角偏差模型

由于雷达仅能测出方位失调角ε和俯仰失调角η，不能测出空间扭角γa，为了推导出测量值的动力学方程，这里先不考虑空间扭角，在失调角ε和η都为小量时，角误差方程如式(1)表示：

(1)

1.2 角速度模型

根据目标和导弹在地面坐标系中的关系(图1)，并近似认为目标视线相对于惯性空间旋转角速度和天线光轴相对于惯性空间角速度相等，可得到角速度动态方程为(由于状态量耦合，为方便起见，弹目相对距离在此一并表示)：

(2)

RTM为弹目距离，nT为目标加速度，nM为导弹加速度，上标“r”和“a”分别表示视线坐标系和天线坐标系，下标“x、y、z”分别表示其在坐标系上的3个分量。

图1 地面坐标系中的目标和导弹

1.3 目标加速度模型

(3)

(4)

wi是零均值白噪声，τi是加速度相关时间常数。对(3)式两边同时求导可得：

(5)

(6)

(7)

(8)

即：

(9)

如前所述，r′系下慢变状态的目标加速度可以看作式(7)所示的非零均值随机过程，则有：

整理后可得：

(10)

由于2个失调角皆为小量可知：

(11)

最后得到：

(12)

(13)

至此，由式(1)、式(2)、式(12)和式(13)就得到了机动目标跟踪的系统状态方程。

2 扩展卡尔曼滤波

考虑离散时间非线性动态系统，其状态方程和量测方程分别为[10]：

(14)

(15)

(16)

3)将式(16)代入式(15)得近似线性模型为：

(17)

4)状态滤波以及增益矩阵和误差协方差矩阵的更新为：

(18)

(19)

Pk/k=(I-KH)Pk/k-1(I-KH)T+KRKT

(20)

由于量测矩阵被雅克比阵H代替，根据式(18)计算出的增益K已不是最优的，因此不能利用常规的P阵计算式来更新协方差阵，而必须采用式(20)以保证P的正定和对称，防止滤波发散。

3 滤波器设计

在雷达没有四维信息观测输出前，滤波器要为雷达提供目标初始四维信息参考。按照PD雷达的典型工作过程，在雷达开机后一般经过一定时间搜索锁定才能获得角度观测，此时雷达工作模式导致发射波和回波有重叠，即“周期性”遮挡现象，目标的角度观测信息可信度也呈周期性变化，可能会没有观测信息。在角度稳定捕获后，满足速度锁定条件时，可以获得角度和弹目相对速度的观测条件，最后当距离捕获条件满足时，雷达测距模式开启，此时遮挡效应解除，直到弹目相对距离接近到雷达能测量的最小距离。

由此可知，滤波器会交替性的处于仅角度观测、无观测、角度速度观测、四维信息完全观测等条件下。观测条件不同意味着滤波观测方程不同，因此需要针对每一种可能出现的观测模式单独推导滤波方程和设计滤波器。

3.1 四维状态可测

状态方程为非线性，量测方程为线性的系统方程可表述为：

(21)

(22)

(23)

将式(23)写成标准的线性状态方程：

(24)

当目标在目标视线坐标系中直线渡越时，方位角速度和俯仰角速度的最大值出现在渡越点上，且角度的峰值反比于距离。一般来说，除渡越点外，角速度是不会超过这个峰值的，因此A12(t)中非零元素的数值都反比于相对距离的平方，所以当距离略大时，A12(t)近似为0。经简化后，X1(t)和X2(t)之间的耦合作用减弱了，系统可以解耦为角跟踪系统和距离跟踪系统2个分系统，增强了系统滤波的实时能力。

同样可以得到角跟踪和距离跟踪的量测方程：

Z1=H1X1+V1

(25)

Z2=H2X2+V2

(26)

将上述各动态模型子系统写成统一的形式进行离散化。离散化时，设为均匀采样。采样周期为T，则可得到相应的离散时间模型。

1)角跟踪系统

(27)

(28)

其中：

2)距离速度跟踪系统

(29)

(30)

线性滤波算法如式(31)～式(35)所示，分别为状态一步预测，状态估计，滤波增益，一步预测均方误差和估计均方误差:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

3.2 距离观测缺失

在雷达距离门锁定前或者弹目距离小于测量最低限时，观测方程中将没有距离信息，但与四维观测皆有的情况类似，其测量过程仍然可以分为角跟踪回路和距离速度回路，相应的角跟踪系统的状态方程和距离速度跟踪系统的状态方程与3.1相同，量测方程如下所示：

Z1=H1X1+V1

Z2=H2X2+V2

(36)

3.3 仅失调角可观

当仅有角度观测时，此时系统观测方程没有距离和速度信息，距离和速度回路的信息完全依靠滤波器的状态估计产生，因此不能将系统继续解耦，而需要用到9×9的状态阵，将角度信息与距离速度信息耦合起来，通过角度信息修正距离和速度的估值。此时系统的状态方程和量测方程如下所示：

(37)

Z=HX+V

(38)

滤波算法公式与3.1相同。

3.4 无观测(遮挡)

系统无观测信息时，要求滤波器能在短时间内依据系统前期状态实现向外递推，得到合理的四维观测信息估计值，用于在遮挡消除后重新捕获目标。此时滤波问题转化为预测问题，系统中没有了观测方程组，依据卡尔曼滤波原理得到系统递推公式如下：

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

需要说明：由于该公式是在前一次估计值基础上进行递推，如果时间太长会由于误差积累导致滤波发散，即滤波值与真值出现较大偏差，数值仿真验证发现系统在大约4s后发生发散。

在各种观测条件下滤波器都得到后，需要设计一套协调逻辑和数值的方法，保证各种模式下滤波器的光滑切换，本文采用了各种滤波模式共用状态变量的方式实现滤波器切换。

4 仿真结果

实际交战过程中由弹载计算机发出雷达开机指令，雷达截获目标后，再向弹载计算机发送角度、速度和距离的可信标志，并由此判断采用哪种滤波模式。在测距模式启动之前，由于发射脉冲与回波脉冲之间的重叠问题，可能导致雷达测量信息出现周期性遮挡，为了检验滤波器在“真实”交战过程中的表现，对标称弹道以及极限弹道都进行了雷达跟踪系统仿真测试。

4.1 标称弹道测试

仿真条件：弹目相对而飞，弹目高度差约为2km。图2给出了滤波器对目标加速度的估计值。在视线方向上的加速度由于有目标相对速度修正，得到很好的估计，而垂直于目标视线的加速度由于相对距离在分母中的影响，且是二次估计，其收敛速度相对较慢。图3～图5分别为失调角、相对距离、相对速度和视线角速率的仿真结果。在标称交战条件下滤波器能够准确的估计失调角信号，在角度回路实现稳定跟踪后，速度回路锁定前，滤波器对目标位置和速度的估计在可以接受范围内，速度并未发散，为速度通道截获提供了参考信息。在速度通道截获后，距离估计值进一步收敛，直至距离截获，遮挡效应消失。

图2 目标加速度在地面坐标系中的投影

图3 失调角

图4 相对距离与相对速度

图5 视线角速率

4.2 极限弹道测试

为进一步测试滤波器的适应能力，以及分析遮挡对于滤波系统的影响，这里选取了一条极限弹道进行跟踪。仿真条件：弹目距离约50km，等高飞行，目标速度约1Ma，目标做加速度5g的盘旋。图6～图9是仿真结果。可以看到遮挡现象的出现，增加了目标加速度估计的超调，增加了速度和距离的收敛时间，而对于整体的收敛性仍然可以保证，对于失调角的影响相对较小。

图6 目标加速度在地面坐标系中的投影

图7 失调角

图8 相对距离与相对速度

图9 视线角速率

4 结论

基于弹目运动学原理和目标“当前”统计模型，针对雷达跟踪系统建立了高机动目标探测的非线性系统模型，推导了弹载PD雷达机动目标探测的滤波模型，对弹载PD雷达机动目标探测的扩展卡尔曼滤波进行了研究。所提出的方案：

1)能够处理真实飞行中存在的部分信息缺失问题，对于极端情况下的遮挡问题也能在一定时间内保证较高的跟踪精度；

2)有利于弹载雷达根据估计信息驱动伺服系统及生成距离门、速度门等，最终实现精确跟踪锁定目标，产生合理的制导指令,并具有较高的可靠性和鲁棒性。

[1] Lee B J, Park J B, Joo Y H.Intelligent Kalman Filter for Tracking a Maneuvering Target Radar, Sonar and Navigati-on[J].IEEE Proceedings, 2004, 151(6):344-350.

[2] Garrison J L and Axelrad P． Application of the Extend-ed Kalman Filter for Relative Navigation in an Elliptical orbit[J]．Spaceflight Mechanics 1996,1996: 693- 712．

[3] Li R X, Jilkov V P.Survey of Maneuvering Target Tracking: Dynamic Models [J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2003, 39(4):1333-1364.

[4] Mehrotra K, Mahapatra P R.A Jerk Model for Tracking Highly Maneuvering Targets [J].IEEE Transactions Aerospace and Electronic Systems, 1997, 33(4):1094-1105.

[5] 雷明,韩崇昭.多级修正的高机动Jerk模型研究[J].西安交通大学学报,2006,40(2):138-141.(LEI Ming,HAN Chongzhao.Study on Multilayer ModifiedHighly Maneuvering Jerk Mode[J].Journal of Xi’an Jiao-Tong University,2006,40(2):138-141.)

[6] Kendrick J D.Estimation of Aircraft Target Motion Using Orientation Measurements[J].IEEE Transactions on Aerosp-ace and Electronic Systems, 1982,17(2):254-260.

[7] 周宏仁,敬忠良,王培德.机动目标跟踪[M].北京: 国防工业出版社,1991.(ZHOU Hongren, JING Zhongliang, WANG Peide.Maneuvering Target Tracking[M].Beijing: National Defence Industry Press, 1991.)

[8] 邢艳军，张世杰，曹喜滨.微小卫星轨道姿态一体化确定算法研究[J].航天控制，2009，27(5):31-37.(XING Yanjun, ZHANG Shijie, CAO Xibin.Integrated Orbit and Attitude Determination Algorithm for Small Satellite[J].Aerospace Control, 2009，27(5):31-37.)

[9] 谭红力,黄新生,岳冬雪.基于捷联惯导高保真误差模型的非线性滤波算法[J].航天控制，2008，26(3):3-7.(TAN Hongli,HUANG Xinsheng,YUE Dongxue.Nonlinear Filter Based on High Fidelity SINS Error Model[J].Aerospace Control, 2008，26(3):3-7.)

[10] 刘也,朱炬波,梁甸农.递推样条滤波的工程化应用研究[J].宇航学报, 2010, 31(12):2794-2800.(LIU Ye, ZHU Jubo, LIANG Diannong.Research of Recursiv Espline Filter for Engineering Applications[M].Journal of Astronautics, 2010,31(2):2794-2800.)

Tracking of Maneuvering Target Based on Extended Kalman Filter

ZHANG Rui SHI Linan

School of Astronautics, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China

Anon-linearsystemmodelisdevelopedforhighmaneuveringtargetdetection.TheextendedKalmanfilteralgorithmisintroducedforPulse Doppler (PD)radartoestimatetheoffsetanglesofpitchandazimuth,therelativevelocityofmissileandtarget,anddistanceinformationwhiledetectingmaneuveringtarget.Theaccelerationoftargetandangleofsightareobtainedbysystemmathematicmodel.Thetrackingsimulationsofnominaltrajectoryandextremetrajectoryshowthattheproposedsystemmodelandfilterdesignapproachcandealwithpartialinformationmissingproblemsintherealflightconditionandmaintaingoodtrackingprecisionforcertaintimeeveninextremeblockingsituation.

ExtendedKalmanfilter;Currentstatisticalmodel;Maneuveringtargettracking; Pulse Dopplerradar

*国家自然科学基金(61174221)

2011-11-23

张 蕊(1981-)，女，河南南阳人，助理实验师，主要研究方向为飞行器导航、制导与控制；史丽楠(1985-)，女，西安人，博士研究生，主要研究方向为飞行器导航与控制。

TN953

A

1006-3242(2012)03-0012-07