顾朝晖,赵志红
(1.广东外语外贸大学 思科信息学院,广州510006;2.北京理工大学 珠海学院数理学院,珠海519085)
定义1[1]设X是Banach空间,T是X 到X 的映射,若
∀x,y∈D(T),a,b,c≥0,a+2b+2c≤1,则称T 为平均非扩张映射.
定义2[2]设X是Banach空间,T为平均非扩张映射.若序列{xn}满足
则序列{xn}是关于{αn},{βn}⊆[0,1]的Ishikawa迭代.
近来,很多作者对Ishikawa迭代收敛性进行研究,在许多文献中得到了很重要的结果,见参考文献[3]-[9],其中文献[8]和[9]给出了渐近伪压缩等映射的Ishikawa迭代在光滑的Banach空间收敛的充要条件.在这篇文章中,主要证明平均非扩张映射的Ishikawa迭代在一般Banach空间收敛的充要条件.文章的结论扩展了平均非扩张映射的相关性质,更进一步揭示了Ishikawa迭代收敛的本质.
主要结论如下:
证明:首先来证明序列{xn}有界,设F(T)是T的不动点集,p∈F(T),则
化简整理,得
(因为a+2b+2c≤1,所以
所以
所以序列{xn}为有界序列.下面讨论
从而
因为a+b+c≤1-b-c,且c>0所以1-(a+b-c)
因此
下面证明定理的充分性:
由于b>0,因此1-a-2c>0.
整理,得
因为‖xnk-Txnk‖→0(nk→+∞)
故‖xnk1-Txnk1‖→0
‖xnk2-Txnk2‖→0(nk1,nk2→+∞),
因此‖Txnk1-Txnk2‖→0
(nk1,nk2→+∞),从而{Txnk}是柯西列,所以{Txnk}
收敛,设Txnk→q,故xnk→q,
而
当nk→+∞时,有:
‖Tq-q‖≤b‖q-Tq‖+c‖q-Tq‖,所以(1-b-c)‖Tq-q‖≤0
而1-b-c≥a+b+c>0),所以‖Tq-q‖=0,q∈F(T).
因为
‖xn+1-q‖≤‖xn-q‖≤‖xn-1-q‖
≤…≤‖x0-q‖,所以xn→q.
下面证明必要性:
根据定理的证明,可以得到下面两个推论:
推论2:设X是Banach空间,T是X→X的具有不动点的平均非扩张映射,且b>0,c>0则T的Ishikawa迭代序列{xn}收敛的充要条件是:‖xn-Tyn‖有收敛于0的子列.
如果将定理中的条件c>0换成βn<1,定理结论仍然成立,即
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