几种分形方法在图像边缘检测中的应用研究

吴立春

（重庆第二师范学院，重庆 400067）

1 引言

图像边缘检测是计算机视觉和图像处理中最基本最重要的研究内容之一，是成功进行图像分析、图像理解与图像描述的关键技术。经典的边缘检测方法，大都是以原始图像为基础，通过考察图像的每个像素的某个邻域内灰度的变化，利用边缘邻近一阶或二阶方向导数变化规律用简单的方法检测边缘。经典的图像边缘检测算法主要有梯度算子、拉普拉斯算子、Sobel算子、Prewitt算子、Roberts算子、Canny算子等，这些算法已经取得了较好的处理效果。但这类方法也都存在边缘像素宽、噪声干扰较严重等缺点。而分形理论的应用，为图像边缘检测开拓了广阔的前景。近年来，国内外很多学者，都做了有关基于分形理论的图像边缘检测方面的研究。本文的目的在于对国内外已有这方面成果进行总结、归纳，并指出它们存在的问题，为以后开展进一步的研究工作打好基础。

2 分形在图像处理中的理论基础

由于可以用简单的迭代方法生成复杂的自然景物，用分维数可以有效度量物体的复杂性，因此分形与图像之间存在着一种自然联系，而正是这种联系，奠定了分形理论用于图像处理的基础，开辟了图像应用的新领域，使得分形几何理论在图像处理领域成为许多科学工作者的研究课题。

罗强等［1］指出:任意一幅图像都是有灰度的、非严格自相似，不具有整体与局部的自相似，也就是从整体上没有明显的确定性分形结构。但是，图像却存在局部之间的自相似，即从局部上存在一定程度的近似的分形结构。由于存在局部之间的自相似性，就可以构造图像的迭代函数。分形几何中的压缩映射定理，就可以保证局部迭代函数的收敛；而分形几何中的拼贴定理，就允许一个完整图像分成若干个分形结构，即构成一个迭代函数系统。有了这个迭代函数系统，就必然决定了唯一的分形图形。这个图形被称为迭代函数系统的吸引子。因此，压缩映射定理和拼贴定理，构成了分形在图像处理的核心部分。

3 多种分形方法提取图像边缘

3.1 单一分形方法

3.1.1 基于分形编码的图像边缘检测

一副图中的一个迭代函数系统的吸引子与原图像存在着差异，图像中的每个子图分形结构也不同程度存在差异，子图的分形失真度大小不一。处在边缘区的子图的分形失真度比较大，而处在平坦区或纹理区的子图的分形失真度相对比较小。因此，我们利用图像边缘在分形中有这一性质来提取图像的边缘。这就是利用分形编码来提取图像边缘。但是，一般的分形编码提取图像边缘时，分块的搜索需要的计算时间太长。针对此问题，罗强等［1］提出了一种改进的方法，采用自适应四叉树法和邻近搜索法结合的思想，来提高工作效率。具体步骤如下:

（1）将图像分成大小为2Rmax×2Rmax且互不重叠的子块，这些子块被称为 Ri，R 的左上角位与（k，1）的位置上。

（2）搜索子块Ri的最佳匹配父块 Dj，以位置为中心，在2L×2L范围内寻找Ri的最佳匹配父块Dj。

（3）在搜索过程中，若它们的失真度小于ε，则停止寻找其最佳匹配父块。若最佳匹配父块Dj的最小失真度大于ε，则记录子块和父块的位置。

（4）重复（2）、（3）步骤，直至所有最大子块都寻找了。

（5）如果把失真度大于ε的子块均划分四块，则把它对应的父块作为邻近搜索范围区域，此时取i＝i＋1，每一个子块取为 2Rmax－i×2Rmax－i，在其对应范围搜索其最佳匹配父块（大小为 2Rmaxj＋1×2Rmax－j＋1）。在搜索过程中，若它们的失真度小于ε，则停止寻找其最佳匹配父块，记下失真度大于ε的子块和父块的各自位置。

（6）重复（5）步骤，直至所有大于ε的子块都为2Rmax×2Rmax。

（7）把失真度大于ε的子块变成边缘测度空间，应用零交叉法进一步提取图像边缘。

（5）二值化处理后得到图像的边缘。

3.1.2 基于离散分数布朗随机模型的图像边缘检测

自然界中大多数的现象在总体分布上具有统计自相似性。Mandelbrot采用分数布朗运动这一数学模型来加以描述。Plentland证明了自然界大多数的表面是空间各向同性的分形，且它们的表面映射成的灰度图像是具有相同分形特性的分形表面［2］。因此，分形模型是描述自然景物的有效方法。同一图像区域的灰度表面具有统计意义上的自相似性，它们满足分形模型。当采用模型提取它的特征参数时，在不同区域的交界处，这种分形的一致性将被破坏，在此求出的分形参数H值将会偏离其理论值的范围，称偏离H参数理论值域的H参数为H参数的奇异值。正是这些H值发生奇异的位置提供了不同区域交界处的位置。因此，根据这些，H值则可以进行边缘检测。该H参数值为:

式中，Nr为到点（x0，y0）之间距离为 r的像素点数。

H参数的计算可以按（1）式，但不能满足实时处理的要求。为简化计算，在图像中任一点（x0，y0）处设置n×n矩形窗口。在计算H参数时，仅需计算n×n、3×3 窗口边界上象点与中心象点（x0，y0）之间的灰度绝级差值的均值即可。其中，n取值较大时，边缘检测的结果将遗漏较多的重要细节，且检测的边缘也较粗；当n取值较小时，抗干扰性能较差。一般取n＝3较好。由图像区域的分数布朗随机场模型及以上H参数的估算方法可得出边缘检测准则:

应用该种方法，许杰等［3］提出了基于分数布朗随机模型的X线影像边缘检测算法，经过实验证明，应用该算法可以准确判断出X线影像的边缘。董文明等［4］提出了一种新的基于分形特征参数的目标边缘检测方法。算法基于分数布朗运动的方差性质提出一种改进的分形维数及其截距特征参数的计算方法，进而将该分形维数与截距特征参数相结合，提出了一种基于分形特征参数的边缘检测算法。实验表明，算法可以有效地实现目标边缘检测，同时算法的运算效率得到提高。

3.2 多重分形方法

分形有单一分形和多重分形，它们本质上描述了对象的复杂性和自相似性。但单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，只能刻画那些具有理想的自相似性的分形体。而多重分形谱比单一的分形维数能提供更多的信息，更适合于描述纹理。

研究表明，多重分形理论为图像分析提供了强有力的工具。图像边缘可由局部的Holder指数α及整体的谱 f（α）来刻画，f（α）表征了 α 出现频率的多少。若 f（α）小于零，则表示 α 出现的频率很少。f（α）＝1 对应于规则轮廓，0≤f（α）＜1 对应与角点、特殊点，1＜f（α）＜2对应于非常不规则的边缘。对图像而言，测度μ常为图像灰度的函数，可定义如下几种测度，设 Ω 为一个区域，I（x，y）为点（x，y）的灰度，则

边缘检测的步骤:

（1）求测度 μ（x，y）。首先取一系列领域半径分别为:1，，然后由以上定义的测度公式，计算出响应的测度。

（2）求 Holder指数 α（x，y）及广义维数 D（x，y）。用最小二乘法拟合直线的斜率即可求出每点的α（x，y）及 D（x，y）。

（3）求谱 f（α（x，y））。利用步骤（2）所得数据，计算出每一点谱 f（α（x，y））。

（4）提取边缘。当 f（α（x，y））≈1 时，标记点（x，y）为边缘点。

张红蕾等［5］用多重分形理论中的广义维数谱作为边缘检测的依据，对原始SAR图像的离散点数据计算其奇异性指数和多重分形奇异谱，根据判决准则实现边缘检测。张莹等［6］通过定义在图像灰度级上的测度，计算图像中每一个像素点的奇异性和它的多重分形谱，然后根据多重分形谱，提取图像的边缘信息，将此方法应用在变形性骨炎的诊断中，取得良好效果。

要进行图像的边缘检测的关键问题是计算多重分形奇异谱。只要在图像中每个像素点上定义的测度有相应的奇异性指数，就可以利用该方法。但由于每幅图像的信息不同，所以在计算时用哪一种测度要根据具体情况而定。所以通过每幅图像的分形特性和统计特性来决定测度的采用以及如何定义合适的测度是使用多重分形检测图像边缘的关键也是难点。并且如何同时使用几个测度来提高图像边缘的精度，是今后的一个重要研究方向。

3.3 利用人造目标和自然背景的不同分形特征提取目标边缘

大量的研究表明，分形模型可以很好地描述自然背景的表面和空间结构，但人造目标不满足分形模型，在用分形模型描述一幅包含人造目标的自然背景图像时，人造目标区域和自然背景区域表现出不一样的分形特征，正是可以根据这种分形特征的差异可以检测出目标。根据此原理，张东晓等［7］提出了一种多尺度分形目标检测方法，该目标检测算法分为图像预处理、阈值分割、多尺度分形特征提取、目标判定和区域生长五个步骤进行。作者应用该算法，进行了舰船目标检测，实验证明该算法能准确有效地检测出目标，具有较高的检测率和较低的虚警率。吴志强等［8］提出将分形维数与几何度量空间变化率进行D－S融合处理，通过决策理论进行图像边缘像素分类，有效地提取目标边缘，改善了目标检测性能。克服了在复杂背景下，由于背景的干扰，在计算得到的分形特征图中，目标与背景的对比度不很明显的问题。

4 结语

本文比较了几种基于分形理论的边缘检测技术，针对不同分形特征的图像可以选择不同的算法，实际上无论哪一种算法在解决一定问题的同时也存在不同类型的缺陷。基于分形编码的图像边缘检测的方法比较复杂，并且搜寻边缘的运算时间较长；对自相似性比较强和随机分布明显的图像进行边缘检测，用基于DFBR场的边缘检测算法检测出的边缘更好些。应用多重分形的方法提取图像边缘可以得到更多的图像信息，但关键问题是如何定义合适的测度。实质上边缘检测作为视觉的初级阶段，通常认为是一个非良态问题，很难从根本上解决。因而，寻求算法较简单、能较好解决边缘检测精度与抗噪声性能协调问题的边缘检测算法将一直是图像处理与分析中研究的主要问题之一，还有待许多工作进一步研究。

［1］罗强，任庆利.基于分形理论的图像边缘提取方法.通信学报.2001，11，104－109.

［2］薛东辉，朱耀庭.朱光喜.基于DFBIR场的图像边缘提取的一种新方法.信号处理.Vol，12，No.1，l996.

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［4］董文明，吴乐华，姜德雷.基于分形特征参数的目标边缘检测算法.光电工程.2009，36（6），21－25.

［5］张红蕾，宋建社，张宪伟.一种基于多重分形的SAR图像边缘检测方法.电光与控制.2007，10（5），86－88.

［6］张莹，王绍源，基于多重分形的医学图像边沿分析.微计算机信息.2009，3，248－250.

［7］张东晓，何四华，杨绍清.一种多尺度分形的舰船目标检测方法.激光与红外.2009，29（3），315－318.

［8］吴志强，吴乐华，袁宝峰，周道华.基于分形特征融合的目标边缘检测算法.电光与控制.2010，17（10），16－19.

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