基于蒙特卡罗法的失真度测量不确定度分析

叶春生，武晓东，周 健

(天津市河西区计量检定所 天津 300191)

0 引 言

测量不确定度是指测量结果变化的不肯定，是与测量结果关联的一个参数，用以表征被测量值的分散性。[1]基于快速傅里叶变换的失真度测量方法(以下简称“FFT失真度”)是通过快速傅里叶变换获得基波和各次谐波分量，通过计算获得波形的总谐波失真度。[2]目前对 FFT失真度测量不确定度评定的研究还不健全，缺乏完整、客观和准确的评定方法。ISO发布的《测量不确定度评定指南》(GUM)提出，测量结果必须表明结果的测量不确定度，其不确定度可以作为下一个测量结果的不确定度分量，它们是可以传播的。[3]但是现在常用的测量不确定度判定有 A类评定，即重复性统计分析方法和 B类评定，即非统计分析方法。这两种分析方法在 FFT失真度的不确定度的评定中都受到各种相关量的非线性、分布规律、误差源、环境温度等的影响和限制，因此难以对FFT失真度进行完整评定。本文提出了基于蒙特卡罗方法的FFT失真度不确定度评定方法。

1 蒙特卡罗法FFT失真度不确定度评定原理

蒙特卡罗方法(Monte Carlo Method)也称统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法，以伪随机抽样获得服从特定概率分布的随机数，并以此模拟测量过程中的各种随机误差。蒙特卡罗方法在不确定度的评定中通过对输入量按照特定的概率分布采样，由测量模型传播输入量的分布，计算输出量的分布函数，进而获取输出量(被测量)的最佳估计值和不确定度。[4]其平均值为：

失真度是评价信号偏离纯正信号的程度，其定义为信号中全部谐波电压的有效值与基波电压的有效值之比。[5]如下面公式所示：

式中：U1——基波信号的有效值电压；U2～Un——各次谐波信号的有效值电压。

本文的 FFT失真度是通过快速傅里叶变换(FFT)获得基波和各次谐波分量的电压有效值，代入公式(3)获得总谐波失真度。根据傅里叶变换原理，把周期信号展开为傅里叶级数为：[6]

由于(6)式的偏导数计算复杂，不易得到(5)式精确的不确定度传递公式，而蒙特卡罗法适用于偏导数计算困难的模型，因此对于 FFT失真度不确定度的评定蒙特卡罗法尤为适合。

本文构造了基于虚拟仪器技术的 FFT失真度测量系统，正弦波信号由 NI USB-6210数据采集卡采集到计算机，使用Labview对采集的信号进行快速傅里叶变换(FFT)，产生被测信号的幅值-频率谱，对产生的幅值-频率谱进行分析和计算，求出各次谐波分量及其有效值，就可得到被测信号的失真度。被测信号的不确定度的评定是通过蒙特卡罗法进行评定，其评定传播模型如图 1所示，不同概率分布的输入量，经过数据采集和数据分析模型传播，得到输出量概率分布的过程。

图1 失真度评定传播模型Fig.1 Model of FFT distortion evaluation and propagation

综上所述，应用蒙特卡罗法进行FFT失真度不确定度的评定就是对数据采集模块和数据处理模块误差源及其统计特性进行分析和评估，再累加到采样信号，依靠随机抽样进行M次模拟仿真建立概率模型，依据概率模型得到参数的估计值和标准不确定度。[7]

2 蒙特卡罗法FFT失真度测量不确定度评定

2.1 数据采集模块测量不确定度来源

FFT失真度数据采集模块主要是通过 NI USB-6210数据采集卡进行数据采集，其测量不确定度来源就是数据采集卡的误差源。

NI USB-6210数据采集卡的误差源主要有增益误差及其温度系数、偏移误差及其温度系数、积分非线性、微分非线性、噪声、多通道道间干扰、灵敏度、量化误差、时间转换间隔、A/D转换精度等，其中噪声误差可以认为服从正态分布，其余误差源可以认为服从均匀分布，误差源数据可以从数据采集卡技术指标得到，如表 1所示，其中选择的测量范围为-5～5,V，基准温度为 5,℃，环境温度为 25,℃，测量幅值为2,V。

表1 数据采集卡技术指标及其误差概率分布Tab.1 DAQ technical indexes and its error probability distribution

2.2 数据处理模块(FFT)测量不确定度来源

数据处理模块是利用快速傅里叶变换(FFT)把时域信号转换为频域信号，通过分析基波和各次谐波的能量而得到正弦波失真度，在进行 FFT运算时会产生混叠、栅栏效应和频谱泄露，因而引入运算误差。该误差源数据可以认为服从反正弦分布，其相对误差数据为0.003,8%；[8]FFT量化误差也是FFT测量不确定度的来源，该误差源数据可以认为服从均匀分布，其相对误差可以控制在0.001,5%，如表2所示。

表2 数据采集模块(FFT)误差及其概率分布Tab.2 FFT errors and their probability distribution

2.3 蒙特卡罗法FFT失真度测量不确定度评定

FFT失真度测量误差由数据采集模块和数据处理模块的误差数据累加而成，依据误差源数据和其所服从的各种概率分布随机抽样，经M 次蒙特卡罗仿真，得到伪测量误差，，依据 FFT失真度测量公式(5)，建立蒙特卡罗FFT失真度的数学模型：

2.4 实验验证

在实验室条件下，环境温度为 25,℃，采用本文基于虚拟仪器技术构造的失真度测量系统对 EGC-1C型智能心脑电图机检定仪输出的标准正弦信号进行实验。本文使用GUM法和蒙特卡罗发对测量结果不确定度进行评定，以验证蒙特卡罗法不确定度的评定结果。

2.5 实验结果

对幅值为 2,V、频率为 100,Hz的正弦波失真度进行 10次测量，测量结果如表 3所示，其测量结果平均值为3.22%。

表3 幅值2,V、频率为100,Hz的正弦波失真度测量结果Tab.3 Measuring result of sine wave distortion (amplitude as 2,V and frequency as 100,Hz)

2.6 GUM法测量结果不确定度实验分析

2.7 蒙特卡罗法测量结果不确定度实验分析

蒙特卡罗法不确定度实验利用MATLAB对误差源数据进行分析，数据采集模块误差数据和概率分布见表1，数据处理模块的误差数据和概率分布见表2，样本容量为100,000次，其相对误差均值 δ = 0 .0414，对公式(6)的数学模型进行蒙特卡罗仿真(谐波分量n＝5)，得到失真度 D 的均值= 3 .21%，标准差σ= 0 .0008。概率分布直方图如图 2所示，其 95%概率区间内的失真度D值为：(3.06%，3.36%)。

图2 蒙特卡罗失真度概率直方图Fig.2 Histogram of distortion probability based on Monte Carlo Method

2.8 结果分析

使用 GUM 法评定的标准不确定度与使用蒙特卡罗法评定的不确定度结果基本一致，说明两种方法具有很好的一致性，可以验证蒙特卡罗法的准确性，因此蒙特卡罗法可以很好地对 FFT失真度的不确定度进行评定。

由于已经知道 GUM法评定FFT失真度具有一定的局限性，因此证明蒙特卡罗法是 FFT失真度不确定度评定方法的首选。

3 结 论

本文通过蒙特卡罗法对 FFT失真度不确定度评定进行了分析，通过实验验证了蒙特卡罗法与 GUM法的一致性，验证了蒙特卡罗法对 FFT失真度不确定度评定的准确性。

［1］ 费业泰. 误差理论与数据处理[M]. 第五版. 北京：机械工业出版社，2007.

［2］ 梁志国，耿书雅. 基于傅里叶变换的正弦信号源波形失真评价方法[J]. 计量学报，2004，25(4)：357-361.

［3］ ISO/IEC Guide98-3：2008Uncertainty of measurementpart 3：Guide to expression of uncertainty in measurement(GUM：1995)[S].

［4］ 用蒙特卡罗法评定测量不确定度[S]. JJF1059.2011.

［5］ 袁晓峰，许化龙，陈淑红. 正弦信号失真度测量方法述评[J]. 航空计测技术，2004，24(1)：1-3.

［6］ 周浩敏，王睿. 测试信号处理技术[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2004.

［7］ 刘文文，葛乐矣. 基于蒙特卡罗方法的虚拟仪器测量不确定度评估[J]. 电子测量与仪器学报，2007，21(3)：56-60.

［8］ 宋琼，朱长春，朱宝良. 基 2快速傅里叶变换引入的不确定度估算[J]. 计量学报，2004，25(3)：281-283.