宏观构架 整体推进——全息教学论下《四边形》的跨越式教学尝试

☉山东省滨州市北镇中学初中部 邢成云

“一千个读者，就有一千个哈姆雷特.”同一个教学内容，不同的教师会有不同的理解.新课程理念下，更提倡教师有自己的教学风格，但对教材的研读和感悟是第一步.只有品出了其中的内涵，悟出了其中的精髓，把握住了新课堂的脉搏，才能有效地实现教学这一“再创造”的过程.

《四边形》一章，可谓几何学习的鸿篇巨著，其内容之丰、定理之富、图形之繁、方法之多，前所未有，给学生的学习带来了沉重的认知负荷.图形、定理的纵横交织，相互干扰，让学生非常纠结，挠头不已，学生常常是“剪不断，理还乱”，多年的教学已经证实了本章教学的步履维艰.其中定理的理解和记忆，我曾动用种种技巧，但诸多努力都难以奏效，依然难敌“遗忘”这个沉重的“蜗牛壳”.缘何？通过不断地探索，发现知识的零打碎敲，如散沙聚盘，抗不了汹涌的后浪拍击，形成纠结，难解前后干扰（如此教学无形中增大了外部认知负荷），在如此困顿之下，笔者多次研读了孙维刚老师的“结构教学法”，李庾南老师的“数学自学·议论·引导教学法”，通过近几年的不断实践与深入探索，慢慢积淀了一点思考，向山东省教研室申报了“全息教学论下的跨越式教学”的课题研究，本文即是本课题下的阶段性探索——“宏观构架，整体推进”，它把每一个图形、每一个定理置于一个系统内认识，不断在瞻前顾后的教学活动中，完善结构，优化思维.

一、教学前思

打破教材界域，重构教学内核，首先是一种思想的革新，思想决定行动.通过改变教材结构，把有些内容适当集中，形成信息组块，降低记忆负荷，而后整体推进、分层讲练，在取得结构效益的基础上，减少外部认识负荷，追求最优化的教学.

本章教学的整体思路是：迁移三角形的一般研究思路，运用类比从边、角、（对角）线等角度去认识，立体把握图形的性质，探测内在联系，形成“集成电路”，消除各自为政的割据局面，形成知识系统，利用上位概念引领，采用下位学习法，理清脉络，在共性中觅出个性，不断丰富概念的内涵，进而把特殊四边形一“网”打尽.同时，把教材设定的17课时缩短为10课时，为学生赢得更多的自主学习的时空.

二、教学操作

1.定义构架（1课时）

以小学的认识为逻辑起点，沿着从一般到特殊的思路，攀援而上，从探寻上下位关系的角度，逼近概念的内核，揭示出每一个特殊四边形的本质属性.两个链条先齐头并进，后按平行四边形优先，特殊梯形后补的方略，把整个知识体系构架起来.

从平行四边形出发，利用其不稳定性可以发现，在图形的扭动过程中会有一种特殊状态——邻边垂直，即对应着一个角为直角，此时即为矩形，从而得到矩形的定义；从和谐共生的角度，边还应该有特殊状态——邻边相等，可见菱形定义浮出水面；然后从完善的角度，让矩形、菱形携手联姻，诞生了正方形.

另外一条线仍从特殊的角度切入，仅有一组对边平行，获得梯形，借助平行四边形主线的研究思路揭示出两类特殊梯形——等腰梯形与直角梯形，至此，结构地图成型.

整个构建过程，在再现平行四边形定义后，并不是让矩形、菱形、正方形按课时节节递现，而是作为一个模块在一节课内全程展现.如此教学，把整个课堂组织成了具有内在生成性的自然整体，而非彼此剥离、不相往来、让学生错觉知识是突如其来的碎片.数学本身就是一个“生态系统”，我们的学习无非就是在心智活动、情感参与的过程中不断复活系统中的各个枝杈，逐步完善这个系统.

2.性质认定（1课时）

从边、角、线、对称性、周长面积5个角度有层次地认识，形成序列式模块，便于记忆、提取和重组.

以平行四边形为例：

边的角度：对边平行且相等；

角的角度：邻角互补、对角相等；

对角线的角度：互相平分；

对称性：中心对称（对称中心是对角线的交点）

周长面积：周长=邻边和的2倍，面积=底×高.

以上各条性质以平行四边形的定义为基点，利用全等三角形的判定与性质可以逐条推出，从而获得逻辑认定“，打包”后纳入自己的认知结构，从而丰富了认知内涵，扩充了认知视域.当见到平行四边形的文字信息或图形信息时，立即有条理地唤起这5个方面（其实是一个“包”）的记忆，从而整合出解答问题所需要的“工具”.

3.判定探寻（1课时）

借助前面平行线的性质与判定，角的平分线的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等已有“性质、判定互逆性”的经验，从平行四边形切入，依次揭示出平行四边形及特殊平行四边形的判定，最后摸索出（等腰）梯形的判定，使得性质与判定相对而生，在它们的联系中加深对图形的认识.

以矩形的判定为例：

第一个判定就是矩形的定义：有一个角为直角的平行四边形，叫矩形.这个判定是定义自身具有的，它毋庸置疑.

矩形的第二个判定猜想：对角线相等的平行四边形.

矩形的第三个判定猜想：四个角都为直角的四边形.

分别从边、角、线三个维度给出矩形个性性质的逆命题，探寻其判定，通过逻辑推理的认证获得定义外的两个方法：对角线相等的平行四边形；三个角为直角的四边形（说明：从数学简洁性的角度出发，只需三个直角就足够了）.

另外，也可以利用直觉、观察、猜想等合情推理方式获得矩形的第二个判定、第三个判定的发现，然后通过逻辑推理的认证，也不失一条研究路径.

如此教学，把性质与判定对接，加强了内在联系，形成了新的系统，便于知识的存储和提取.

4.涉“中”补遗（1课时）

沿着这样的研究线索，从一个中点出发，在获得中线等分三角形面积的基础上，从一般到特殊有序地呈现等腰三角形、直角三角形有关中线的“个性”品质，接着从两个中点出发研究中位线（三角形到梯形），最后初步探索4个中点问题——“中点四边形”（由于时间关系，止于一般四边形的中点四边形的探索），把中点问题纵横贯通，使之系统化、结构化，挖掘出相关特征图形所固有的属性.如此教学，把中点排成线、串成链，一脉贯之，清晰明朗，重在构成“中点”体系，便于学生的宏观把握和微观探测.

5.局部完善（2课时）

从图形的识别、线的关系（位置、数量）等角度预设课堂，力图实现各个图形的判定与性质的有机融汇，把研究出的性质与判定派上用场，并在应用中不断反复各个性质与判定，形成解题前思考的自主化行为，解一题，想一串，通一片，在发散中凝聚，在提取后整合，寻出破题之道.

分两个课时进行，第一课时设计两个例子，第二课时使用6个练习进行全面巩固.以下仅选第一课时说明.

图1

例1如图1，在△ABC中，已知点D、E、F为边AB、BC、AC上的动点，若DE∥AC，DF∥BC.

问题1：四边形DECF是什么特殊四边形？

问题2：有没有更特殊的图形状态？如矩形、菱形、正方形等.

问题3：在不改变题目的条件下，如何寻到四边形DECF为菱形时，动点的位置？

问题4：若四边形DECF为菱形时，CD有何特点？

问题5：若AC=BC，要保障四边形DECF为菱形，该取AB的中点，还是∠C的角平分线？

问题6：根据以上研究获得的成果，你能把一张三角形纸片折出一个菱形吗？

问题7：要四边形DECF为矩形，需要条件做什么调整？

问题8：若为正方形呢？

设计说明：通过问题串，借助三角形中位线、等腰三角形的性质等，把平行四边形及特殊的平行四边形来了个大盘点、大串连，其间，学生猜想、质疑、讨论、动手验证、动口（手）证明，层层递进，不断挑战自我，从多个角度探索、发现、推理，在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题（四能）中，提升学生的数学素养.

例2如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x.

（1）当x的值为________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

图2

（2）当x的值为________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.

设计说明：本题信息丰富，它通过动点，把梯形、直角梯形、平行四边形、菱形链接在一起，笔者引领学生面对题目信息，展开全面联想，通过交流，罗列所想，提取有用信息，整合所想，探测解题思路，把“想”全程展现在“桌面”上，力求打开通向解题目标的通道，通过这样的演练，发展学生的思维，扩大思维场域，遇到问题有路可走，不至于茫然无措.如此设计教学，如此的思维历程，使得不同水平的学生获得各自的应有发展，能最大限度地减少“看客”、“陪客”的数量，从而达至学学相长！

看似仅仅两个例子，但每一个例子都蕴藏着丰富的学习资源，笔者充分发挥“策划者、组织者、引导者”的作用，挖掘例子的应有之能，把四边形一章的“四基”糅合，以实现局部完善之意图.

解题仅是一个手段，以此为载体，捕捉信息，展开全方位的联想，让各个特殊四边形的性质与判定不断在大脑中有序（边、角、线等）重现，解出的是题目，训练的是方法，探测的是思路，发展的是思维，使得题目以一当十，通过反思、提炼，力求触类旁通.

6.专题研讨（4课时）

（1）折叠问题（1课时，包括坐标系内的图形）

特殊四边形的折叠问题，以特殊四边形的性质打底，给轴对称提供了广阔的前景，为勾股定理的使用搭建了显其神能的平台，尤其结合坐标系，拓宽了图形的施展空间，对历练四边形的相关知识大有裨益.

例3 如图3所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为（ ）.

解析：设AF=xcm，则DF=（8-x）cm.

因为矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，所以DF=D′F.

在Rt△AD′F中，因为AF2=AD′2+D′F2，

图3

所以x2=62+（8-x）2，

故选B.

设计说明：本题以矩形为背景考查了图形的翻折变换，翻折是一种轴对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题的关键.矩形有着得天独厚的先天条件（直角），为勾股定理的使用搭建了平台.通过本题，引导学生“悟经验”！

例4如图4，四边形OABC是一个长方形纸片，其中OA=8，OC=4，通过折叠使得C点与A点重合，折痕为EF.

（1）求出OE的长度；

（2）试猜想四边形AFCE的形状，并证明；

图4

设计说明：问题（1）是对例3获得成果的巩固，即所谓的“用经验”；问题（2）把菱形嵌入合情推理与逻辑推理中，体现了思维与知识的和谐；问题（3）通过动点问题，融入了函数与最值，把题目推向至高点，是体现数形结合的好题.

在教学过程中，笔者始终践行例2的探索思路，把图形语言、文字语言、符号语言有机地结合，并从中发现尽可能正确的结论，既便于开启思路，又收获了“副产品”，可谓多收共赢！

经验之谈：通过两道例题的学习，谈谈自己的所识所得.

提炼经验：折叠问题与勾股定理有不解之缘；方程思想为它们提供支持！

（2）中点问题（1课时，涉“中”补遗的延伸）

中点问题在数学上地位显赫，从线段的中点，到三角形的中线，到三角形的中位线、梯形的中位线，乃至“中点四边形”等，扮演了数学中的重要角色，值得我们通过专题形式进一步探讨，力求把中点问题弄个通透.

温故知新（先行组织者）：

问题1：如图5，若点E、F分别为△ABC的边AB、AC的中点，当EF=1，∠C=65°，则BC=______；∠AFE=____.

图5

图6

问题2：如图6，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的形状是______，其周长为______.

问题3：如图7，四边形ABCD为一个四边形纸片，E、F分别为AB、BC的边上的中点，以EF为边能否折叠出一个平行四边形EFGH，使顶点G、H分别在CD、DA边上？若能说明理由.

设计说明：通过问题1再现三角形的中位线定理，唤醒“基本图”；通过问题2识别“基本图”；通过问题3，以手动引发脑动，在逆向探测中唤醒“前文2.4”已初涉的“中点四边形”基本图，为本节课的探索奠好基础，发挥好先行组织者的作用.

图7

图8

探索发现：

问题1：如图8，根据上面的研究我们知道，若E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AB、BC、CD、AD的中点，则其“中点四边形”EFGH为平行四边形，若我们改变一下形状（借助几何画板），变成图9，图10的状态，其“中点四边形”EFGH的形状还是平行四边形吗？猜测并证明.

图9

图10

设计说明：体验凸四边形变凹四边形的过程中“中点四边形”的不变性，同时寻到这个问题与图6的联系，进一步强化转化思想和基本图形意识.

问题2：利用计算机继续变换四边形ABCD的形状，使四边形ABCD分别为平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形EFGH的形状（即猜测并证明）.

可得图11：

图11

设计说明：从一般到特殊探索“中点四边形”，有了新发现：其形状除了一般的平行四边形，还有矩形、菱形和正方形等.

反向探测：

问题1：反之，若中点四边形EFGH分别为矩形、菱形和正方形，则四边形ABCD是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）和正方形？

问题2：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是四边形ABCD的边？角？对角线？

设计说明：研究一个问题的逆命题，是数学的一大特色，也是发现和提出数学问题常用的方法，两个问题引领学生逆向切入，从特殊再回归一般，探寻出一般规律：决定“中点四边形”EFGH的形状的特定因素是四边形ABCD的对角线的数量关系和位置关系，与其他因素无关.原四边形对角线相等时“中点四边形”是菱形；原四边形对角线互相垂直时“中点四边形”是矩形；原四边形对角线相等且互相垂直时“中点四边形”是正方形，至此，学生的认识得以升华.

再攀新高：

问题1：如图13：E、F、G、H分别为各边的四等分点，则四边形EFGH是什么图形？

问题2：如图14：E、F分别AB、BC边的四等分点，G、H分别为边CD、DA的中点，则四边形EFGH是什么图形？

设计说明：让中点向前进一步，探索四等分点问题，拉大了思维空间，给了学生莫大的挑战.笔者通过几何画板的多重功能，把图12演变成图13、图14，观察、发现、猜测、最后证明，需要说明的是，这里的证明需要辅助线的支持，基本图形的构造走向了深层，使得转化更具有思想“味道”.

经验之谈：以此环节作结，略.

本节课力求凸显几何画板等现代技术的作用，为学生创建一个学习、研究的优质情境，使学生明其理、悟其法、通其变（图形的变换、问题的变式等），诱导学生发现规律，提炼经验，探寻道术，以达发展思维之旨.

（3）重心问题（1课时，限于篇幅，略）

（4）梯形问题（1课时，梯形辅助线的构建，略）

三、教学后想

1.对整体架构的思考

所谓的整体建构，就是把教学内容、教学过程和教学方法看作一个有机整体，以知识做例子，研究问题的通用工具为载体，创造知识感悟场，整体建构能力、逻辑、知识体系，实现知识向能力和能力促知识的相互转化.与循序渐进式教学相比，整体建构教学模式实际上是一种思维方式的改变，过去是让学生从具体的知识点入手，到最后才能看清庐山真面目（知识的整体结构）.这就像是观光览景，原来是先进入景区，看了半天也不知整体如何，而现在就先在空中看清楚，然后再深入到景点之中慢慢欣赏.

如《四边形》一章所学的新知识只是我们验证通用工具（边、角、线）的例子，这样学生就站在一个“道”的高度，一个制空点上来学新知识，把新授课上成生长课或复习课，学生有道可循，有法可依，学习自然成为一件有意义的活动，自然生发“会当凌绝顶，一览众山小”的王者心态.

2.整体架构的推手

整体架构是不是凭空而起？是不是空穴来风？到底怎样落实整体架构？诸多问题均需要我们深度思考.整体架构离不开“类比、归纳和猜想”三大法宝，但不论是归纳还是类比，落脚点都在猜想（发现与提出命题的能力），“大胆地猜想，小心地求证”的论断彰显出猜想的地位.

我们知道，下位架构靠的是逻辑推演，上位架构靠的是归纳猜想，平行架构靠的是类比联想.这都是架构的有力推手.有了这些推手，我们就可充分利用它们，搭建起知识的纵横结构，描绘出知识的地图缩影，使学生获得一种学习的方法，实现一种“会学”基础上的“学会”，实现“由技到道”的转变，如此而然，就能为学习的后程蕴足底气.有了这些强大的推手，知识的高楼大厦就能拔地而起.

3.整体架构的理论基础

（1）全息理论

所谓全息是指整体上的任何一部分或母系统中的任何一个子系统，都包含着整体或母系统的全部信息.全息理论是研究事物间所具的全息关系的特性和规律的学说，它具有部分是整体的缩影规律；反映事物之间的全息关系的全息等式.它本质上是事物之间的相互联系性，通俗地讲，就是“一叶知秋”，就是“窥一斑而知全豹”.仔细研究不难发现，几何封闭图形都是基于边、角、线的元素及其关系设定的，因此，它就是几何的全息元，既然如此，我们就可利用这一条脉络，全息辉映，贯通整个几何体系.

从全息论的观点看，学生的学习过程也是新知识和原有知识建立联系的过程，这种联系建立的越多，新旧知识的全息度就越大，学生对新知识的掌握就越牢固，理解就越深刻，运用就越自如.

（2）布鲁纳的结构教学论

著名心理学家布鲁纳认为：“任何事情都必须放到一个结构好的框架里去，否则很快就忘了.”“经典的迁移问题的中心，与其说是单纯地掌握事实与技能，不如说是教授和学习结构.”“不论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构.”等诸多论断都直击关键词“结构”，事实证明，知识只有纳入结构、形成体系，才能有利于储存和提取.我们继续聆听布鲁纳对“结构”的解读：“学习结构就是学习事物怎样相互联系的.”联系就是规律，对数学学习而言，就是哲学地看待数学，就是揭示数学的本质，一般来说，学生所获取知识是形式的、离散的、表象的，需要我们启发学生整理加工，在头脑“内化”的基础上形成多要素、多层次、多系列的网络状的纵横联系的动态知识结构，并作为“内存”丰盈学生的智慧，如此，才能顺应学生的认识规律，才会有真正意义上的数学收益.

（3）认知负荷理论

认知负荷是指某种信息材料在心理加工过程中所需要的认知资源的总量.斯威勒的认知负荷理论的主要观点之一：知识以图示的形式存储于长时记忆中，图示建构后能通过实践进一步自动化.图示的构建能降低工作记忆的负荷.

基于这一理论，纵然四边形一章认知信息非常之多，但由于做了整体梳理，形成了认知信息组块，即“边、角、线”的整体简约图示，这种“边角线打包”的方式，有效地将内部认知负荷由“超载”降到“满载”，从而实现教学资源的最大效益，以达到优化的教学境界.

整体架构，有了“前思后想”保驾护航，定然会出现“一桥飞架南北，天堑变通途”的心仪景观！笔者期待践行的收益更加丰硕！

1.孙维刚.孙维刚初中数学［M］.北京：北京大学出版社，2005.

2.李庾南.数学自学·议论·引导教学法［M］.北京：人民教育出版社，2004.

3.刘建宇.平行四边形整体教学之断想［J］.中小学数学（初中），2011（3）：1～2.

4.邢成云.题组 引领方法构建［J］.中学数学 （初中 ），2012（8）：56～58.

5.朱先东.基于整体思想的数学教学设计［J］，中学数学教学参考（中旬），2012（4）：2～5.

6.孙悦霞.初中数学教学有效设问的策略［J］.中学数学月刊，2012（3）：16～18.

7.胡华春.认知负荷理论对数学样例教学设计的启示［J］.中国数学教育（初中），2012（4）：2～4，9.

8.邢成云.有效设问 探索为魂——新课程理念下习题课教学设计的案例解读［J］.中学数学杂志（初中），2012（10）：21～24.