基于小波变换的股票异常点检测研究

郭庆然

(1.中南财经政法大学 信息管理学院，武汉 430060；2.河南科技学院 经济与管理学院，河南 新乡 453003)

0 引言

异常点检测一直以来都是数据挖掘研究的重要问题之一[1]，许多学者对异常点检测提出了多种方法[2][3][4]。然而这些方法没有考虑到股票这种特殊的金融时间序列的特性。股票数据收益率序列通常表现出尖峰厚尾、高阶相关和波动的类聚性特征。

Engle（1982）提出的自回归条件异方差模型（ARCH模型）[5]和Bollerslev（1986）基于ARCH模型提出的自回归条件异方差模型（GARCH模型）[6]是目前描述高阶序列相关最流行的方法，随后ARCH模型和GARCH模型分别在不同的方向得到了扩展。为了满足金融时间序列的尖峰厚尾特征，Bollerslev（1987）[7]提出了GARCH模型服从学生t分布。张世英、柯柯（2002）综合归纳了由ARCH模型衍生出来的ARCH模型族[8]。

异常点是指严重偏离既定模型的数据点。根据金融时间序列异常点的性质和产生的原理，可以把异常点划分为加性异常点（additive outliers）和革新异常点（innovation outliers）[9]。加性异常点又可分为加性水平异常点（ALO）和加性波动异常点(AVO)两类，ALO只对GARCH模型的均值方程产生影响，而不对方差方程影响。AVO不但对GARCH模型的均值方程产生影响，对方差方程也产生影响。Peña（2001）研究发现股票时间序列中革新异常点是不重要的[10]，因此，本文主要研究加性异常点的检测。

近年来，文献[11],[12]针对时间序列提出了一些异常点检测方法，但这些方法都无法解决异常点的“遮蔽效应”（Zhang and King(2005)）[13]。所谓“遮蔽效应”，是指在异常点检测时，一个异常点的存在会阻止其它异常点的检测。本文采取的方法是每检测出一个异常点，立即对其修正，然后再进行下一个异常点的检测，从而避免了“遮蔽效应”的影响。

1 加性异常点模型

Bellerslev（1986）提出的广义自回归条件异方差GARCH（1,1）模型[6]是描述股票收益率序列很好的一种方法。这种模型的形式为：

其中，μ是股票收益率条件均值，εt是随机误差项，是εt的条件方差；或者服从学生t分布。且，It-1表示在t期的已知信息集。为了保证条件方差恒为正，要求系数α1＞0,β1＞0。且α1+β1＜1确保模型是平稳的。

1.1 加性水平异常点(ALO)

加性水平异常点（ALO）可能是由市场结构改变引起的，ALO只对GARCH（1,1）模型的条件均值方差有影响，而对条件方差方程没有影响。这样的异常点利用GARCH（1,1）模型可以表示为：

其中，εt和以前相同，ωAO表示加性水平异常点的影响程度。IT(t)=1，如果t∈T，否则为0。条件方差和方程（1）仍然相同，这种形式的异常点仅仅影响均值序列。

1.2 加性波动异常点(AVO)

加性波动异常点（AVO）不但对GARCH（1,1）模型的条件均值方差有影响，而且对条件方差方程也有影响。这样的异常点利用GARCH（1,1）模型可以表示为：

2 基于小波变换的异常点检测过程

通过方程（1）的GARCH模型，估计均值方程的残差项X=(X1,...,Xn)，残差表示股票数据对其均值的偏离，属于随机波动。根据学者的研究经验，有三个阀值识别异常波动，分别为1%、5%和10%[14]。如果取1%的阈值通常会使异常点发生漏检的现象，取10%往往会使本不是异常波动点也识别为异常波动。因此，通常学者采用5%为异常波动的阈值，本文也是采取5%作为异常波动阈值。

估计出残差序列X=(X1,...,Xn)后，按以下步骤，检测异常点并处理。

步骤1：对残差序列X=(X1,...,Xn)进行一级haar小波变换，分别得到低频系数A1和高频系数D1。

步骤2：找出所有大于阈值的极大值点中的最大值dmax∈|D1|，并用数组P记录dmax在D1的位置p。

步骤3：将dmax置为0，重构D'，D'=(d1,...,di-1,0,di+1,...,dn/2)。

步骤4：将A1和D'做逆小波变换，得到新的残差序列。

步骤5：重复步骤1到4，直到不存在大于阈值的极大值点。

步骤6：根据数组P中的每个p找到残差X中的异常点。计算去掉X中位于2p和2p-1两点后的样本均值，

3 实证分析

本文选取了个股苏宁电器（002024）从2004年7月22日到2010年10月15日的每日收盘数据和近一年来的上证指数作为分析对象。

3.1 个股分析

图1显示了苏宁电器（002024）从2004年7月22日到2010年10月15日的每日收盘价格曲线。可以看到该股的振幅介于10～70元之间，存在非常明显剧烈的波动。

图1 一段时期内苏宁电器每日收盘价

图2 经过GARCH模型处理得到的残差数据

图2是图1中的收盘价格经过GARCH模型处理后得到的残差数据。前文可知，残差数据反映的是股票价格对其均值的偏离。对照图1和图2，可以发现收盘价格的每一次大的波动都对应着残差信号的一个峰值。

图3 1级haar小波变换后得到的高频系数

图4 近一年内的上证指数

对残差数据进行一级haar小波变换，得到如图3的高频系数。按上节步骤2找出所有大于阈值的极大值点的位 置P=(337，103，149，250，400，523，334，218，353，219)。再按照步骤6找出残差X中的异常点，分别是（677，210，301，504，803，1049，672，440，710，442）。注意到，异常点（440，442）几乎相邻，正是由于本文采用了小波分解找出异常点后立即修正的方法，很好的解决了“遮蔽效应”，同时检测出这两个异常点。如果采取传统方法，直接对残差数据进行异常点检测，则无法检测出异常点（442）。

这些异常点说明了股票价格相对于均值的巨大波动，下面具体看一看异常点对应的日期所发生的事件。苏宁电器分别在2008年9月26日（677）、2005年6月3日（210）、2005年10月17日（301）、2009年4月10日（803）、2010年4月16日（1049）除权，股价跌幅最低为31%。2008年1月9日（504），苏宁电器在停牌1年3个月后复牌，复牌当日不限涨幅，股价由44元涨至68.55元，涨幅超过50%。2008年9月19日（672），股票实行单边征收印花税，因此重大利好消息，苏宁电器转跌为涨，当日接近涨停。其他3个交易日虽然没有重大事件或消息，但是交易日近两天的波动接近20%，属于股票交易异常波动。

图5 1级haar小波变换后得到的高频系数

图4显示了2009年11月9日到2010年11月18日的上证指数曲线。可以看到这段时间内上证指数的振幅介于2300点和3400点之间，有一些较大的波动。同样，找出所有大于阈值的极大值点的位置P=(63，122，5)及其在残差X中对应的异常点（130，248，14）,如图5所示。2010月5月18日（130）的前一个交易日受加息传闻及美国股市暴跌的影响，上证指数下跌5.07%，后证实消息为假，上证指数微涨。2010月11月15日（248）的前一个交易日即2010月11月12日传出上调印花税的消息导致上证指数下跌5.26%，后被证实为假消息，故15日上证指数微涨1.07%。2009年11月26日（14）无重要事件发生，属于股票市场正常调整。

通过以上实验可以看到，大部分异常点都对应着重大事件和消息，其余则对应着相对较大的波动，证明了本文采用的方法能够准确有效地检测异常点，并避免了“遮蔽效应”对异常点检测的影响，取得了良好的效果。

4 结论

本文首先使用GARCH（1,1）模型对股票数据收益率进行残差估计。残差数据反映了股票市场走势对均值的偏离，但直接对其进行异常点检测，则无法避免“遮蔽效应”。本文通过对残差数据进行haar小波变换得到高频系数进行异常点检测，能够准确地检测异常点，且很好地克服了“遮蔽效应”。最后分析证明了我们的方法效果良好，具有很好的理论和应用价值。

[1]王宏鼎，童云海，谭少华，唐世渭，杨冬青.异常点挖掘研究进展[J].智能系统学报，2006.

[2]陶运信，皮德常.屏蔽输入参数敏感的异常点检测新方法[J].计算机科学，2008.

[3]刘晓艳，王丽珍，杨志强，陈红梅.基于数学形态学的模糊异常点检测[J].计算机研究与发展，2009，46.

[4]陶运信，皮德常.基于邻域和密度的异常点检测算法[J].吉林大学学报，2008.

[5]R.Engle.Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Esti⁃mates of the Variance of U.K.Inflation[J].Econometrica,1982,50(4).

[6]T.Bollerslev.Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic⁃ity[J].Journal of Economics,1986,31(3).

[7]R.F.Engle,D.Lilien,R.P.Robins.Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure:The ARCH-M Model[J].Econometrica,1987,55(2).

[8]张世英，柯柯.ARCH模型体系，系统工程学报，2002，(3).

[9]Aurea Granéa,Helena Veiga.Wavelet Based Detection of Outliers in Financial time Series[J].Computational Statistics and Data Analysis,2010,54(11).

[10]D.Pena,F.Prieto.Multivariate Outlierdetection and Robust Covari⁃ance Matrix Estimation[J].Technometrics,2001,43(3).

[11]傅强，彭选华，毛一波.金融时间序列变点探测的小波模极大值线方法[J].重庆大学学报(自然科学版)2007.

[12]周大镯，刘月芬，马文秀.时间序列异常检测[J].计算机工程与应用，2008.

[13]X.Zhang,M.King.Influence in Generalized Autoregressive Condition⁃al Heteroscedasticity Processes[J].Journal of Business&Economic Statistics,2005,118～129.

[14]高铁梅.计量经济学建模与教程第二版[M].北京：清华大学出版社，2009.