非有效决策单元的效率研究①

沈 浮， 夏必腊， 王 鹏， 田玉敏

(中国人民解放军陆军军官学院数学教研室，安徽合肥230031)

0 引言

自从评价决策单元相对有效性的CCR模型提出以来，有关理论不断深入，应用范围日益广泛．CCR模型假定规模报酬不变，其生产可能集为所有观察到的决策单元的非负线性组合[1]．BCC模型假定规模报酬可变，其生产可能集是所有观察到的决策单元的凸组合．为了对多个有效决策单元排序，Andersen ＆ Petersen提出了超效率模型[2]．本文研究了决策单元的规模效率和非有效决策单元的效率，并取得一些结论．

1 预备知识

设有n个决策单元DMUj(j=1，…，n)，其输入和输出分别为m维向量xj=(x1j，x2j，…，xmj)T和s维向量 yj=(y1j，y2j，…，ysj)T，其中xj≥0，xj≠0 且yj≥0，yj≠0．传统的 CCR 模型[3]如下:

CCR模型对应的生产可能集为

传统的BCC模型[3]如下:

BCC模型对应的生产可能集为

2 决策单元的规模效率

我们称决策单元的CCR效率为技术效率，决策单元的BCC效率为纯技术效率．

定义1[4]: 决策单元(xo，yo)的规模效率为，其中和分别为的CCR效率和BCC效率．

定理1: 设决策单元(xo，yo)的CCR效率和BCC效率分别为和，若SEo=1，则

证明: 显然θo=1，λo=1，s－=O，s+=O是模型(1)的可行解也是模型(2)的可行解，所以有．又模型(2)只比模型(1)多了一个约束条件，故模型(2)的可行解也是模型(1)的可行解，因而有，即SEo≤1．当SEo=1时，只能有=1．

3 非有效决策单元的效率分析

Charnes et al[1]将决策单元分为两类:有效前沿面上的决策单元和非有效前沿面上的决策单元．进一步，有效前沿面上的决策单元又可以分为:极有效(extreme efficient)、有效但非极有效(efficient but not extreme efficient)、弱有效(weakly efficient or frontier point but with nonzero slacks)．

超效率CCR模型[2]为:

超效率CCR模型对应的生产可能集为

超效率CCR模型[2]为:

超效率BCC模型对应的生产可能集为

定理2: 若决策单元(xo，yo)非CCR有效，则

证明: 若决策单元(xo，yo)非CCR有效，定义其参考集中的决策单元是CCR有效的[4]．这说明((xo，yo)，故对于非CCR有效的决策单元，模型(1)和模型(3)等价，从而

定理3: 若决策单元(xo，yo)非BCC有效，则

证明: 若决策单元(xo，yo)非BBC有效，定义其参考集中的决策单元是 BCC 有效的[4]．这说明(xo，yo)，故对于非BCC有效的决策单元，模型(2)和模型(4)等价．从而

4 实例分析

对文献[5]中提供的10个决策单元(见表1)进行研究，分别计算它们的

表1 10个决策单元及其效率

5 结 论

本文首先研究了规模效率得出决策单元(xo，yo)的SEo=1充分条件为=1．对非CCR有效决策单元，模型(1)和模型(3)等价，对非BCC有效决策单元，模型(2)和模型(4)等价．

[1] Charnes，A．，Cooper，W．W．，Thrall，R．M．A Stucture for Classifying and Characterizing Efficiencies and Inefficiencies in DEA[J]．Journal of Productivity Analysis，1991，2，197 －237．

[2] P．Andersen，N．C．Petersen，A Rocedure for Ranking Efficient Units in Data Envelopment Analysis[J]．Management Science．1993，39，1261－1264．

[3] W．D．Cook，L．M．Seiford．Data Envelopment Analysis(DEA)－Thirty Years on[J]．European Journal of Operational Research，2009，192:1－17．

[4] William W Cooper，Lawrence M Seiford，Kaoru Tone．Data Envelopment Analysis a Comprehensive Text with Models，Applications，References and DEA －Solver Software Second Edition[M]．Springer Science+Business Media，LLC．2007．

[5] 马立杰．DEA理论及应用研究[D]．济南:山东大学，2007．

[6] 魏权龄．数据包络分析[M]．北京:科学出版社，2004．