分子蒸馏系统建模与仿真

张 洋， 李云鹏， 隋添翼， 于欢欢， 许红岩

（长春工业大学电气与电子工程学院，吉林长春 130012）

0 引 言

分子蒸馏技术的原理不同于常规的蒸馏，它突破了常规蒸馏依靠沸点差分离的原理，而是依靠不同物质分子运动平均自由行程的差别实现物质的分离［1］。

分子平均自由程是指气体分子在连续两次碰撞中所走路程的平均值。Langmuir根据热力学原理推导出frenzied平均自由程的定义式为：

式中：D——分子有效直径，m；

K——波尔兹曼常数；

N——阿伏伽德罗常数；

P——压力，Pa；

R——通用气体常数；

T——温度。

由此可见，分子平均自由程的大小与分子有效直径、压力和温度有关［2］。当压力不变时，物质的分子平均自由程随温度的增加而增加；当温度不变时，物质的分子平均自由程随着压力的降低而增加。其基本原理如图1所示。

图1 分子蒸馏原理

待分离的液体混合物料沿加热板自上而下流动，在加热板上形成均匀液膜，被加热后能量足够的分子逸出液面，轻分子的分子运动自由程大，重分子的分子运动平均自由程小，在离液面距离小于轻分子的分子运动平均自由程而大于重分子的分子运动平均自由程处设置一冷凝面，这样大部分的轻分子就能到达冷凝面形成液体流出，重分子则返回到加热面，从而实现了分离［3］。当进行不同物料及不同成分分离时可以调节冷凝板位置，或者采用多级分离的方法，本系统把多级及调整冷凝板位置结合到一起［4］，使每级系统的冷凝板都可以自动调节，能够实现同一物料进行多组分的分离。

1 动态数学模型的建立方法

建立动态数学模型是依据能量平衡、传质、传热化学反映速率的关系。动态数学模型与静态数学模型的差别是在列写机理方程时，须考虑蓄存量的变化率，一般采用下式表示：

单位时间内流入能量－单位时间内流出能量＝能量的蓄积速率

单位时间内流入物料量－单位时间内流出物料量＝系统内物料蓄存量的变化率

在建立动态数学模型过程中，可以通过4种不同形式来表示输出变量与输入变量之间的关系，即：用增量y＝ΔY和u＝ΔU表示；绝对值Y和U表示；绝对值与正常状态下稳态值（Y00和U00）的差值来表示；用无因次形式的y和u表示，即用增量与某一基准值的比值来表示［5］。列写线性系统增量方程式是很方便的，一般只要用其增减量来代替方程中的变量就可以了，建立对它的数学模型也比较容易。但是对于非线性的系统来说，因为其各个变量之间是线性的，不能满足叠加原理，所以，需要对它的变量进行线性化处理，就是在系统输入和输出的工作范围内，用线性的关系来代替非线性的关系，切线法是最常使用的方法之一，在静态特性曲线上，通过采用经过工作点的切线代替原来的曲线。在列写动态方程后，一般来讲，输入输出变量的非线性函数在工作点领域内展开泰勒级数，保留一阶项，省略高阶项，可以得到相近的线性模型，相同的对于多变量系统的线性化，也是在工作点的领域内用泰勒级数展开，略去高阶项后得到近似的线性方程。

2 建立动态数学模型的步骤

2.1 模型准备

首先要了解问题体现的实际背景和明确建模的目的，然后再搜集各种需要的信息，弄清楚需要建模对象的特征，对原始的问题进行分析与了解，抽象出语言叙述的模型以及相应的条件，即成为原始模型。

2.2 模型假设

根据需要建模对象的特征对实际问题进行合理的简化，尽量用精确的语言来假设，这是建模很重要的一步。一般来讲，一个实际的问题不经过合理的简化就很难转换成数学问题，对于不同的假设将导致不同的模型。如果假设的过于详细，把复杂对象的因素都考虑进去，就有可能导致一个无法求解的或者十分复杂的模型。同理，要是简化的过分简单或不合理，将导致模型失败。所以，简化是建模的重要一点，需要根据问题的实际性能和建立模型中的具体要求结合起来考虑。

2.3 模型构成

依据假设分析对象的因果关系，利用对象内在规律和数学工具，构造各个量之间的不等或等的关系，列出表格，画图确定其它结构。这里需要一些相关的专门知识，事实上，建模应该尽量采用简单的数学工具，让更多的人了解和方便使用。

2.4 模型求解

根据不同的模型要使用不同的数学工具求解，通过方程、图形和数值的计算、分析统计、证明等数学方法，必要时还需要借助计算机。

2.5 模型分析

根据所得模型进行数学上的分析，需要时给出数学上的最优控制或决策，有时候要根据问题的性质分析量变间的依赖关系和稳定情况，但是，不论用哪种情况分析，最后还是要进行误差分析，模型对数据的稳定性或者灵敏性分析。

2.6 模型校验

把建立的模型结果分汇到实际问题中，将实际现象与数据做对比，校验模型的合理性和实用性。一般情况下，一个成功的模型不只能够解释已知的现象，还能够预测未知的现象，并且能够被实践证明。如果校验的结果不符合实际，应该补充假设，重新建模，直到能够反映现实问题为止。

3 分子蒸馏的系统建模

分子蒸馏的过程特别复杂，在蒸馏水的产生过程中，温度和薄膜厚度是系统需要控制的两个重要参数，并且同时受到原料水流量、真空度和刮膜电机转速的影响，在热交换回路中，原料水的流量、压力与蒸汽压力、温度成非线性关系，并且有较强的耦合特性。当调节温度和转速时，蒸馏水的提取率也将同时变化。同时，纯汽输出回路和冷却水回路都是热交换回路的强烈干扰源，因此，要建立一个精确的数学模型十分困难。根据热交换原理，首先建立了单效蒸发器的动态方程，并且以此导出双效蒸发器的动态方程［6］。在能够实现工程的前提下，经过特定的假设，对蒸发器的数学模型进行模拟优化，数学模型从5阶化为3阶，3阶再化为2阶，最后导出六效蒸发器的数学模型。

4 单效蒸发器动态方程的建立

蒸发是指将含有非挥发性质的溶剂与挥发溶剂组成的溶液进行蒸发浓缩的过程。在单效操作中，只用了一个蒸发器，它的特点是产生的二次蒸汽不用来使物料进一步蒸发，在开始操作的时候进料应该加热至操作压力下的沸点温度，溶剂通常是水，被加热蒸发并成为蒸汽而排走。而对于一个蒸发系统一般都是用几个蒸发器，能提高经济效益，称为多效操作。

在处理非稳态的蒸发器系统的入手点是小蒸发器动态的模型和公式，在非稳态操作下的蒸发器系统的方程建立一般包括若干积分——差分方程［7］。在作出以下4项假设的基础上，推导出小蒸发器动态模型的方程：

1）金属管壁上的滞留能量可以忽略；

2）对蒸发器的液存量中加工液是充分混合的；

3）对环境的热损失可以忽略不计；

4）对系统加热时有关能量衡量的其它项目时，蒸发室的整体重量可以忽略。

总之，单效蒸发器的非稳态方程式如下：

组分物料衡算方程：

传热速率方程：

总能量衡算方程：

能量衡算方程：

考虑到沸点升高：

其中：

式中：c1——系数，与阀门的特性有关。

5 双效蒸发器动态方程的建立

对双效蒸发器动态模型可以在以下假设的基础上得出［8］：

1）对环境的热损失可以忽略；

2）热损失系数和传热系数是常数；

3）可以忽略金属管壁和连接管道的能量滞留量；

4）在蒸发器的液存量中，加工液是充分混合的；

5）在整个蒸发过程中，所有的气相空间均为饱和蒸汽；

6）蒸发器和蒸汽室内具有相同的条件；

7）忽略各效之间物料传递滞后；

8）相对于系统加热室中有关能量的衡算的其它项目，可以忽略蒸发室的蒸汽重量；

9）相对于蒸发器中浓缩液存量的重量，可以忽略蒸发室中溶剂重量；

10）对于沸点上升，不再考虑与浓度的关系，只认为与温度有关系；

11）与蒸发器系统中金属、进料、冷凝液和过程液相比来说，绝缘层的实际质量通常较小，所以，可以忽略绝缘层的能量滞留量。

根据质量守恒定律和热力学原理，可以推导出以下的平衡方程、系统热量核算方程、总物料衡算方程、传热率方程以及气热相温度平衡方程。

双效蒸发器动态行为的微分方程如下：

6 蒸发器的数学模型模拟和优化

因为在实际的工业对象中，涉及到的参数都很复杂而且也很多，所以产生了不少对象的数学模型有很高的维数［9］。因此，给模型工程的应用带来很大的困难，相对于高维数学模型来讲，不论在过程控制计算机领域，还是容量算法上都很难实现。因此，实现工业过程模型化的一个关键问题就是怎样用一个低阶模型来实现高阶模型的作用。

在建立微分方程前，要先根据交换原理和现场的实际运行情况做某些特定的假设，再推导出双效蒸发系统的5阶数学模型。通过数字计算机处理起来虽然方便，但是模型阶数如果能降低一些，那样处理起来就会容易很多［10］。相对于5阶线性数学模型，其系数矩阵特征值数量级一般都是相同的，为了使状态变量的物理意义保持一致，在工程允许的范围下，可以通过一些假设来对数学模型做降阶处理，从5阶到3阶。从设计的蒸发器中还可以有些特殊的假定［11］，比如假设系统没有热损耗，就是L＝0；由于热焓和浓度之间的关系特别小，可以将第一蒸发器温度T1假定为常数［12］；假设第二蒸发器的储液量W2在稳态作用点±12%以内，故可以把W2当成常数看待。

通过以上假设，可以将5阶模型简化成3阶：

如果再假设第一效的储液量也为常数，即W1＝0，就可以导出以下公式：

通过对上面的式子进行仿真，就能发现其可近似相当于一阶滞后特性。于是有：

同理，经过这样的方式，可以得到以下公式：

式中：F——入口蒸汽的流量；

S——入口原料水的流量；

T2——第二效蒸发器蒸馏水的温度；

C2——第二效蒸发器蒸馏水的浓度。

所以有：

7 仿真分析

7．1 双效蒸发器的数学模型仿真

在没做某些假设之前，对于双效蒸发器的模型可以导出一个10阶的非线性微分方程，而在经过假设后，就能得到一个5阶的非线性模型。在工程允许的前提下，可以再经过几次特定的假设［13］，对其数学模型进行优化，从5阶简化为3阶，再将3阶降为2阶。通过MATLAB进行仿真，可以得到不同模型的开环响应曲线，如图2和图3所示。

图2 出口浓度相对原料水流量，2阶、3阶、5阶模型及实际运行的阶跃输入响应曲线

图3 出口温度相对蒸汽流量，2阶、3阶、5阶模型及实际运行的阶跃输入响应曲线

7．2 六效蒸发器的数学模型以及仿真

对于六效蒸发器的数学模型，如果按照推导双效蒸发器数学模型的方法需要列很多个数学方程，最终会得到一个30维的状态方程，对于维数比较高的运算起来很难，并且得到的模型在实际中很难起到有效的应用［14］，所以在工程允许的前提下进行热交换的时候，可以对六效蒸发器近似等效，将3个双效蒸发器的串联近似等效为六效蒸发器。有双效蒸发器的数学模型：

可以导出六效蒸发器的数学模型：

式中：F——入口蒸汽的流量；

S——入口原料水的流量；

T6（s）——末效蒸发器蒸馏水的温度；

C6（s）——末效蒸发器蒸馏水的温度。

对其仿真研究如图4～图7所示。

图4 原料水的流量一定时，末效蒸发器蒸馏水的浓度的响应曲线

图5 蒸汽的流量一定时，末效蒸发器蒸馏水的浓度的响应曲线

图6 原料水的流量一定时，末效蒸发器蒸馏水的温度的响应曲线

图7 蒸汽的流量一定时，末效蒸发器蒸馏水的温度的响应曲线

8 结 语

介绍了建立分子蒸馏的动态数学模型，并且对其进行仿真分析。由于蒸馏水的数学模型特别复杂，涉及到的输入变量与输出变量之间耦合紧密，而且呈非线性关系，两者之间还有一些热交换回路的复杂联系，所以，采用传统的方法很难建立出精确的模型。

文中主要是采用热交换的原理，首先建立单效蒸发器的动态方程，再推导出双效蒸发器的动态方程。在满足工程要求的前提下，做了一些特定的假设，对蒸发器的数学模型进行模拟优化，数学模型从高阶降到低阶，在此基础上，推导出六效蒸发器的数学模型。

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