非均匀复杂等离子体中的2+1维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程

惠小霞，尤斌兴

(甘肃省嘉峪关市第一中学，甘肃 嘉峪关 735100)

近年来尘埃等离子体中的非线性逆序结构(如孤波，激波)引起了人们极大的研究兴趣［1-2］。尘埃等离子体是一种含有电子、离子和尘埃颗粒的电离气体。目前，理论和实验研究表明，带电尘埃簇改变了原等离子体波的光谱，而且尘埃微粒带电的动力学行为在尘埃等离子体中引入了许多新的特征［3］。在实际等离子体物理场中，背景场尘埃等离子体密度的分布是非均匀的，即，随空间变化，而这一重要特征往往被人们忽略。Zhang 等运用约化摄动法研究了磁化尘埃等离子中激波的传播，但是，没有考虑非均匀性［4］。Xiao 等通过KdV Burgers 方程研究了非均匀尘埃等离子体中一维非线性波的演化［5］。最近，许多学者［6-7］研究了非均匀尘埃等离子中由ZK 方程描述的波的传播特性。非均匀尘埃等离子体中的KP 方程还没有人研究过。所以，非均匀尘埃等离子体中由KP 方程描述的非线性孤波的研究非常重要。

本文研究了非均匀性和高阶扰动对复杂等离子体中非线性孤波的影响。运用约化摄动法得到了描述非均匀尘埃等离子体中孤波的2 +1 维非标准变系数Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程，并且把此方程变为标准的2 +1 维KP 方程，得到了KP 方程的孤立波解。

1 基本方程

非均匀碰撞尘埃等离子体由3 种成分组成:大质量、带负电量的尘埃颗粒;满足玻尔兹曼分布的电子和离子。假定非均匀沿X 方向，无扰动时电中性条件为:ni0(x)=nd0(x)+ne0(x)，其中nd0(x)，ni0(x)，ne0(x)分别为无扰动的尘埃颗粒、离子和电子的数密度。对尘埃声波，流体力学方程组为

电子密度和离子密度满足波尔兹曼分布:

2 非线性方程的导出

在长波近似下，运用约化摄动法［8］推导出尘埃粒子所满足的非线性方程。坐标伸展变换为

这里ε 是描述非线性强度的小参量，V0(x)是波的相速度。自变量的展开形式为

将式(5)代入式(1)，并比较ε 各幂次的系数，可得一次近似为

高次幂的连续性方程、X 方向的动量方程和泊松方程为

利用式(6)、式(7)消n2，u2和φ2，得到

其中系数A，B，C，D 分别为

方程(8)是描述非均匀尘埃等离子体中非线性尘埃声孤波的非标准KP 方程。系数A，B，C 分别是非线性、色散系数，系数C 是由非均匀性引起的。

3 KP 方程的近似解

方程(8)的精确解很难给出，下面给出此方程的近似解。系数C 与非均匀性有关，所以有于是方程(8)变为标准的变系数KdV 方程

其中系数A'是X 的函数，即随X 的变化而变化，而系数B，D 没有变化。如果不考虑高阶横向扰动，方程(9)就变为标准的KdV 方程。为了得到方程(9)的孤立波解。设φ1=φ(θ)，对方程(9)作行波变换:即θ=kξ+lη-U0τ，得到孤立波解，

波的振幅φm和宽度δ 分别为是被尘埃声速度无量纲化的波速，其值为常量。

4 结束语

本文研究了非均匀性和高阶扰动对复杂等离子体中非线性孤波的影响。运用约化摄动法得到了描述非均匀尘埃等离子体中孤波的2 +1 维非标准变系数Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程，并且把此方程变为标准的2 +1 维KP 方程，得到了KP 方程的孤立波解。

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