《易经》学说的现代群论解释

熊辉 蔡思洁

(东莞理工学院 计算机学院，广东东莞 523808)

1 八卦与九宫的代数性质

九宫图是阶数最低的纵横图，又名三阶幻方。据曲安京考证［1］，最早提到九宫图形制的文字大约见于西汉时期的纬书，如《易乾凿度》称:

太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五。

文王后天八卦图中的卦象排列有这样的歌词来帮助记忆:

一数坎兮二数坤，三震四巽数中分。

五寄中宫六乾是，七兑八艮九离门。

大德南怀瑾感叹曰:由此歌谣，古人教育方法之高明可见一斑。

后天八卦所对应的排列方式其实就是九宫阵，用现代的矩阵表示就是

在该矩阵中，除了相对的两个卦加起来合而为十和任何一行，一列、主对角线、副对角线上的三数之和都是十五之外，它还满足很多代数恒等式。把每行的三个数字分别合为一个三位数，如第一行、第二行、第三行分别为618、753、294;再把从左到右每行的三个数字从右到左分别合为一个三位数，如第一行、第二行、第三行分别为816、357、492。简单的计算就能验证到，他们不但和相等，而且平方和也相等，列表如下:

此外，该方阵还有更令人叹为观止的性质，就是矩阵在乘方后，会保持某种不变性。有关这一运算性质的详细叙述请参阅文献 ［2］。本文的主要目的，是希望把这些不变性纳入“近世代数”的范畴，并建立相应的代数群，利用代数群论的知识，来给八卦九宫中的这些算法一个现代数学和科学上的合理解释。

2 消息运算群

1～9这九个数字组成的三阶方阵总共有9!=362 880种，但只有其中的八种满足以上的代数恒等式(这些恒等式本文中合称之为九宫性质)。为什么刚好是八种而不是其他数目，这可能是个很耐人寻味的问题。因为八不但是八卦的总卦数，也是具有代表性的方位的总数，更是90度旋转变换和镜面反射的种类之和。

在建立群论之前，首先简单介绍一下代数群的数学概念［3］。

定义1 设A是一个非空集合，如果对任意两个元素α1，α1∈A，都满足α1◦α1=α∈A，则称“◦”是一个定义在A上的代数运算。如果对任意α∈A，都满足σ(α)∈A，则称“σ”是一个定义在A上的代数变换。

例1 由于任意两个整数相加或相乘还是整数，所以普通的加法和乘法是定义在整数集合上的一个代数运算。

例2 设σ1(α)=2·α，其中·为普通乘法。因为偶数乘以2仍旧是偶数，因此σ1是偶数集合上的代数变换。

定义2 设A是一个非空集合，如果在A上满足以下三点:

1)A上的代数运算对任意元素a，b，c∈A满足结合律:

2)A中有唯一的元素e，称为单位元，且对任意元素a∈A满足

3)A对任意元素a∈A，A中都有唯一的元素a－1，称为a的逆元，且满足

则称A对于运算◦成为一个群。如果对任意元素a，b∈A还满足

则称A是一个交换群或Abel群。

在阴爻和阳爻中每次任取一爻，连取三次就可以得到八卦。设集合

B={乾，兑，离，震，巽，坎，艮，坤}。

令阳爻为1，阴爻为0，从初位到上位依次把八卦转换成二进制，则消息运算可重新定义如下。定义3 设B是如上的八卦二进制集合

B={111，110，101，100，011，010，001，000}，

任取其中的两个元素，定义一种消息运算◦，表示对应位的数字相加，然后重新组成一个三位二进制数，即得到一个新卦。需要注意的是，在二进制中，1+1=10，取个位的话则为1+1=0，然后向前进一位，如果进位后变成四位数的话，则取后三位。

例3 取离卦 (101)和艮卦 (001)，根据消息运算，有

101◦001=(1+0)(0+0)(1+1)=100(即艮卦)。

取兑卦 (110)和离卦 (101)，根据消息运算，有

110◦101=(1+1)(1+0)(0+1)=1 011=011(即巽卦)。

定理1 设B是如上的八卦二进制集合，则对于消息运算◦，B是一个Abel群。

证明 对于任意两个元素，由于普通加法满足交换率，因此只要B是一个群的话，则必然也是一个交换群，即Abel群。因此，只要证明B是一个群就可以了。因普通加法满足结合律，因此消息运算◦也满足结合律。

由于坤卦α1=000在加法中不起作用，即与其它卦α1，…，α8做消息运算后满足

因此坤卦是B的单位元。另外，由于1+0=1，0+1=1，0+0=0，1+1=0。

因此对应于单位元坤卦来说，每个卦在集合居中都有唯一的逆元。如乾卦的逆元为艮卦，兑卦的逆元为坎卦，离卦的逆元为巽卦，震卦的逆元为震卦自身，坤卦的逆元也是坤卦自身。

八卦群的这一性质可以用另外一个也恰好有八个元素的Abel群来印证。设

在集合S中定义一种代数运算◦，记为⊗，得出的乘积是正常乘法之积的后五位数，如:

简单的验证就可以发现，交换率和结合率对这种变态乘法仍然成立，即

这个集合S满足“封闭性”，即任意两个元素经过⊗运算后，得到的“积”仍旧属于S;且由于

90 625⊗90 625=90 625，

因此称90 625单位元。另外，集合S可以完全由其中任一元素通过⊗运算单独“生”出来，如取21 875，先定义an为a×a×… ×a(共n个相乘)乘积的最后五位数，则有

由于八次方后得到单位元，因此再乘方的话就会产生循环。也就是说，这个集合或代数群只有八个元素。群S和八卦群B有很多相似之处，因此从具体的角度而言，可以用群S来研究八卦群的性质。群S可以由其中任何一个元素全部衍生出来，最后归于单位元90 625;而八卦群B也可以从其中任一个元素生出来，并且也最后归于单位元坤卦。从乾卦开始，对应二进制数每次递减1，直到等于0，这就是坤卦。这一过程其实就相当于上述群S中的乘方运算。这一对应实例似乎可以说明，八卦体系如果采用近世代数中的群论来研究的话，应该可以找到新的生机和新的科学与哲学意义。

3 代数变换群

前文说过，满足九宫性质的三阶方阵只有八种，这暗合着八卦的种类，但这也许只是个巧合。在这一小节里，要建立一个正交变换群，这个群里也刚好只有八个元素，并可以一一对应到八种三阶幻方。显然，八种三阶幻方都是都过(1)式的矩阵A多次逆时针转置或行行交换与列列交换而产生的，下面，我们将从群论的角度来说明这一过程。

以正方形的中心点为坐标原点，建立直角坐标系，如图1所示。根据这个图和坐标系，定义一种代数变换 (见定义1)，称为正交变换。

定义4 设A是一个非空集合，σ是一个定义在A上的代数变换，如果该变换还保证原图中任意两点之间的距离在经过σ变换后能保持不变，则该变换称为正交变换。

由正交变换的性质，不难看出，正方形关于坐标原点恰好有八种正交变换。设变换σ1表示逆时针旋转90度，变幻σ2表示关于镜面反射。则这八种正交变换可以组成一个八元素的集合，即

图1 从正方形的中心点为坐标原点，建立直角坐标系

如果对上图中的直角坐标系定义上北下南、左西右东，则恒等变换就相当于乾卦在西北方的八卦图。而变换σ21，即旋转180度，这时的卦图方位就是中国古代经典的上南下北、左东右西。

三阶方阵中满足九宫性质的矩阵只有八种，其根本的数学原理，是由自然数的性质决定了，但其体现形式是多种多样的。在众多的体现形式中，最具有现代数学和科学意义的，就是用近世代数的群论的方法，构造代数运算群和代数变换群。

［1］曲安京.中国古代科学技术史纲:数学卷［M］.沈阳:辽宁教育出版社，2000:378.

［2］熊辉.代数与中国古代经典［M］.北京:中国出版集团，2010.

［3］北京大学数学系.高等代数［M］.2版.北京:高等教育出版社，1999.