罗素悖论研究进展

杜国平

（中国社会科学院哲学研究所，北京 100732）

一、罗素悖论概述

20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中，科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基本建成。例如，德国物理学家基尔霍夫（G.R.Kirchhoff）就曾经说过：“物理学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个数字罢了。”英国物理学家开尔文（L.Kelvin）在1900年回顾物理学的发展时也说：“在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补工作了。”[1]313法国大数学家彭迦莱（Poincaré）在1900年的国际数学家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了[2]94。然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大事就是罗素（Russell）悖论的发现。

所谓罗素悖论指的是由罗素发现的一个集合论悖论。其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据唐托尔（Cantor）素朴集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1，即S1={x：x∉x}。现在问：集合S1是否是自身的元素？假设S1是自身的元素，因为S1的每个元素都不是自身的元素，所以可以得出S1不是自身的元素，这与假设相矛盾；假设S1不是自身的元素，由集合S1的构造可知，对于任一集合，如果它不是自身的元素，那么它就是集合S1的一个元素，这样就得出S1又是自身的一个元素，这也与假设相矛盾。S1或者是自身的元素，或者不是自身的元素，总之都得出矛盾，这就是著名的罗素悖论。

罗素悖论还可以更为简练地表述如下：根据概括原则可构造集合S1={x：x∉x}；根据集合的定义可知，对于任意x，x∈S1当且仅当x∉x；根据经典二值逻辑由此可得，对于集合S1，S1∈S1当且仅当S1∉S1，由此进一步可得，S1∈S1而且 S1∉S1，矛盾。

为了让学者们更容易理解，罗素还设计构造了罗素悖论的通俗版“理发师悖论”：赵家庄有两类人，一类人自己给自己理发，另一类人自己不给自己理发。赵家庄的理发师阿桂给自己定了一个规矩：给且只给赵家庄自己不给自己理发的人理发。那么，阿桂给不给自己理发呢？假设阿桂给自己理发，那么他属于自己给自己理发的那类人，根据他的规矩，他不应该给自己理发，这和假设矛盾；假设阿桂不给自己理发，那么他属于自己不给自己理发的那类人，根据他的规矩，他又应该给自己理发，这也与假设矛盾。他或者给自己理发，或者不给自己理发，总之都陷入矛盾。

“理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。

罗素悖论其推理的前提是如此的简单明了，这些前提为当时的科学界所公认；其推理的过程也是如此的清楚严密，无懈可击；可是推理的结果却是如此的不能接受，竟然是一对矛盾。这在当时的学术界造成了极大的震动。因为数学与逻辑一向被认为是严密学科的典范，而现在竟然出现了悖论，这直接冲击着理性的根基，人们不禁反思：我们是否可以理性地思考？或者更准确地说，人类是否可以一致地、无矛盾地进行理性的思考？数学甚至整个科学还有合理性吗？德国伟大的数学家希尔伯特（David Hilbert）慨叹：“如果连数学思维都是不可靠的，那么到何处还能找到真理和必然性呢？”

罗素悖论发现之后，包括罗素本人在内的众多学界精英都投入到了解决悖论的研究之中，产生了众多的解决悖论的方案，这种研究一直持续到21世纪的今天。即使在当下，关于罗素悖论的研究仍然是逻辑学界日久弥新的问题之一。

本文不打算对各种解决悖论的方案作深入、细致的梳理评析，本文主要打算做两个方面的工作：一是从悖论的形式构造的角度来探究罗素悖论形成的内在原因；二是回答一个问题，就是罗素悖论是否是由逻辑系统造成的。

二、形式构造方面的探究进路

（一）罗素悖论所显示的悖论结构

罗素悖论的造集谓词是“x∉x”，其中涉及两个关键的要素：循环（x∈x）和否定（「），有人据此认为，正是循环和否定造成了悖论。显然，循环和否定都不是造成悖论的充分条件。那么，循环和否定是否是构成集合论悖论的必要条件呢？对于这个问题，可能有两种结果：如果所构造的任一集合论悖论都与循环和否定有关，则说明循环和否定是构成集合论悖论的必要条件；如果所构造的某些集合论悖论与循环和否定无关，则说明循环和否定不是构成集合论的必要条件。

（二）寇里悖论所显示的悖论结构

寇里（Haskell B Curry）悖论是寇里在1942年提出来的[3]124～128。寇里悖论的集合论版本可以概述为：根据概括原则，可构造一集合K={x：x∈x→p}，其中p为任一命题。根据集合定义和经典二值逻辑依次可得：

（1）（K∈K）↔（K∈K→p） 根据集合 K的定义

（2）（K∈K）→（K∈K→p） 根据（1）

（3）（K∈K→p）→（K∈K） 根据（1）

（4）（（K∈K）→（K∈K→p））→（K∈K→p） 收缩律

（5）K∈K→p （2）、（4）分离

（6）K∈K （3）、（5）分离

（7）p （5）、（6）分离

这样就得出了矛盾。

寇里悖论的造集谓词是“x∈x→p”，其中只涉及循环（x∈x），但是不涉及否定，这就从结构上揭示出一个重要结果，否定不是造成悖论的必要条件。

（三）沈有鼎悖论所显示的悖论结构

我国学者沈有鼎先生于1953年发表了三个著名的悖论，即“有根据集悖论”、“非循环集悖论”和“非n 循环集悖论”[4]114。

1.有根据集悖论。

对于任一集合x，如果存在“∈”关系的无穷链，即存在xi（i=1，2，3，……），使得

则称x为无根据集；否则，称x为有根据集。

根据概括原则，可构造一集合S2={x：x为有根据集}。对于任一集合x，x要么是有根据集，要么是无根据集。那么问S2是有根据集，还是无根据集？

假设 S2是有根据集，根据 S2的定义可知，S2∈S2，因此可有…∈S2∈S2∈S2∈S2∈S2，根据无根据集定义可知，S2是无根据集，这与假设矛盾。假设S2是无根据集，根据无根据集的定义可知，存在xi（i=1，2，3，……），使得…∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1∈S2，这样对于 x1有：…∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1，根据无根据集定义，可知x1为无根据集；但是另一方面，x1∈S2，根据S2的定义可知，x1为有根据集，这又得出了矛盾。不论S2是有根据集还是无根据集，都得出矛盾。这就是“有根据集悖论”。

2.非循环集悖论。

对于任一集合x，如果存在xi（i=1，2，3，…，n），其中n为任一正整数，使得

则称x为循环集；否则，称x为非循环集。

根据概括原则，可构造一集合S3={x：x为非循环集}。对于任一集合x，x要么是循环集，要么是非循环集。那么问S3是循环集，还是非循环集？

假设S3是循环集，根据循环集的定义可知，存在xi（i=1，2，3，…，n），其中n为任一正整数，使得S3∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1∈S3，这样对于 x1有：x1∈S3∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1，根据循环集定义可知，x1为循环集；但是另一方面，x1∈S3，根据S3的定义可知，x1为非循环集，矛盾。假设S3是非循环集，根据S3的定义可知，S3∈S3，因此可有S3∈S3∈S3，根据循环集定义可知，S3为循环集，这也与假设矛盾。不论S3是循环集还是非循环集，都得出矛盾。这就是“非循环集悖论”。

3.非n循环集悖论。

对于任一集合x，如果存在xi（i=1，2，3，…，n），其中n为一确定的正整数，使得

则称x为n循环集；否则，称x为非n循环集。

根据概括原则，可构造一集合S4={x：x为非n循环集}。对于任一集合x，x要么是n循环集，要么是非n循环集。那么问S4是n循环集，还是非n循环集？

假设S4是n循环集，根据n循环集的定义可知，存在xi（i=1，2，3，…，n），其中n为一确定的正整数，使得 S4∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1∈S4，这样对于 x1有：x1∈S4∈xn∈xn-1∈…∈x2∈x1，根据 n 循环集定义可知，x1为n循环集；但是另一方面，x1∈S4，根据S4的定义可知，x1为非n循环集，矛盾。假设S4是非n循环集，根据S4的定义可知，S4∈S4，因此可有S4∈…∈S4∈S4（共有n+2个S4），根据n循环集定义可知，S4为n循环集，这也与假设矛盾。不论S4是n循环集还是非n循环集，都得出矛盾。这就是“非n循环集悖论”。

假设将x∈x称之为“罗素循环”，显然如果一个集合S是罗素循环集，那么S一定也是1循环集，因为既然有x∈x，那么当然有x∈x∈x；同理，S一定也是2循环集、3循环集、…、n循环集、n+1循环集……

由上述讨论可知：如果一个集合S是n循环集，那么S一定是循环集；如果一个集合S是循环集，那么S一定也是无根据集。因此，可以有下述重要结论：

如果S是有根据集，那么S一定也是非循环集；

如果S是非循环集，那么S一定也是非n循环集；

如果S是非n循环集，那么S一定也是非罗素循环集。简言之，可以有如下结果：

从这一结果可以看出，沈有鼎先生巧妙地将非罗素循环集缩小为非n循环集，再将非n循环集缩小为非循环集，最后进一步将非循环集缩小为有根据集。而有根据集是不涉及循环的，这就从结构上揭示出一个重要结果，循环不是造成悖论的必要条件。这是沈有鼎悖论最重要的理论价值所在。

但是有根据集涉及否定，因为有根据是对无根据集的否定。所以，沈有鼎悖论没有回答否定是否是造成悖论的必要条件。

（四）等值悖论所显示的悖论结构

等值悖论是杜国平在2007年提出来的[5]376～379。等值悖论可以概述为：根据概括原则，可构造一集合D={x：x∈x↔p}，其中p为任一命题。根据集合定义和经典二值逻辑依次可得：

（1）（D∈D）↔（D∈D↔p） 根据集合 D 的定义

（2）（（D∈D）↔（D∈D↔p））↔p 根据经典二值逻辑

（3）p （1）、（2）等值替换

这样就得出了矛盾。

等值悖论的特点是非常简洁，其涉及的逻辑规则也非常有限。等值悖论的造集谓词是“x∈x↔p”，和寇里悖论一样，其中只涉及循环（x∈x），而不涉及否定。但是寇里悖论的构造依赖于一个关键的连接词“蕴涵”，而当将蕴涵式“A→B”理解为“非A，或者B”的时候，否定又回来了，因此，有学者对寇里悖论的无否定语言环境是持保留意见的。而“等值”是一个非常直观的概念，它并不一定需要由否定来定义，所以，等值悖论更加严格地昭示了寇里悖论所要显示的结果：无否定的语言环境仍然可能产生悖论，即否定不是造成悖论的必要条件。

三、逻辑系统方面的探究进路

简单梳理一下，就可以发现罗素悖论的基本架构是：

[集合论的基本定义]+[概括原则]+[经典二值逻辑]⇒矛盾

显然，要排除悖论，至少要否定[集合论的基本定义]、[概括原则]、[经典二值逻辑]这三者之一。不同的逻辑学家基于各自的思考提出了不同的解决方案。本节不打算对此作详细的探讨和分析，只打算回答一个问题，即罗素悖论是否是由逻辑系统造成的。

（一）二值逻辑方案

由罗素悖论的推理结构可以看出，经典二值逻辑是其推理的三要素之一，所以，从理论上讲，经典二值逻辑是造成悖论的三个嫌疑犯之一。于是人们尝试使用其他的逻辑系统作为推理工具是否可以避免罗素悖论。

（二）n（3≤n＜ω）值逻辑方案

20世纪30年代，苏联逻辑学家波契娃尔（Bochvar）提出三值逻辑方案，以其建立的三值逻辑系统作为集合论的推理工具，试图以此来摆脱罗素悖论的困扰。

但是20世纪50年代，我国逻辑学家莫绍揆的一项研究成果从根本上宣告了这一方案的不可行[6]37～40。下面我们来概述一下莫绍揆的研究工作：首先递归定义一个符号（p→）nq：

（p→）1q指的是p→q

（p→）nq指的是 p→（（p→）n-1q）

莫绍揆证明了如下三个重要命题：

命题1设Φ为任一推理系统。若Φ满足下列条件：

（1）概括原则成立；

（2）分离规则成立，即 p，p→q├q；

（3）同一律成立，即 p→p；

（4）收缩规则成立，即（p→）nq├（p→）n-1q。则在推理系统Φ中一定包含悖论。

命题2在卢卡西维茨（Lukasiewicz）的有穷值逻辑系统Łn（3≤n＜ω）中，下列规则成立：（1）分离规则成立，即 p，p→q├q；

（2）同一律成立，即 p→p；

（3）收缩规则成立，即（p→）np├（p→）n-1q。

命题3概括原则配以卢卡西维茨的有穷值逻辑系统Łn（3≤n＜ω）作为逻辑推理工具，则必然导致悖论。

莫绍揆的工作证明，在保留概括原则和素朴集合论的有关定义的前提下，以有穷值逻辑（包括三值逻辑）替代经典二值逻辑作为推理工具是无法避免悖论的。

（三）无穷值逻辑方案

在无穷值逻辑Łא0中，收缩规则（p→）nq├（p→）n-1q不成立。因此，莫绍揆的证明结果不适用于无穷值逻辑的情况。

那么，在保留概括原则和素朴集合论的有关定义的前提下，以无穷值逻辑替代经典二值逻辑作为推理工具是否可以避免悖论呢？

答案也是否定的。这项工作是由我国学者郑毓信、肖奚安和朱梧槚等人在1985年完成的，他们证明了如下的命题，给出了这一问题的否定性回答[7]。

命题4设Φ为任一数学系统。若Φ满足下列条件：

（1）概括原则成立；

（2）分离规则成立，即 p，p→q├q；

（3）同一律成立，即 p→p；

（4）如果 A1，A2，…，An，…均为集合，则为一集合；

（5）包含一个自然数系统 N={1，2，3，…，n，…}。

则在数学系统Φ中一定包含悖论。

该命题中的条件（1），是假定可以接受的；条件（2）、（3）是两条基本的逻辑原则，在推理能力较为充分的逻辑系统中（包括无穷值逻辑）都是成立的；条件（4）、（5）也是为一般集合论所具有的。因此，上述命题的结论是非常具有一般性的。这宣告了即使配以无穷值逻辑系统作为推理工具，概括原则仍然可能导致悖论。

（四）任意值逻辑方案

以上，我们基本上展示了在保留概括原则和集合论基本定义的前提下，通过修正逻辑系统而避免悖论的探索历程，遗憾的是，最终的结果是否定性的。

2008年，杜国平通过一个更为一般的方法，证明了在保留概括原则和集合论基本定义的前提下，配以任意值逻辑系统作为推理工具都将导致悖论。

其证明的基本思路是：

1.任给一任意值逻辑系统Q，都可以定义出一类类似于经典二值逻辑系统中的否定、蕴涵和等值等连接词，我们可以称之为强经典否定、强经典蕴涵和强经典等值。为了方便，我们仍然可以使用常用符号「、→和↔来表示。

假定在任意值逻辑系统Q的模型M中，M为其值域，D为其特征值域，D≠Ø，D⊂M。对于任意公式A和B，V为模型M上的一个赋值，定义：

V（「A）∈D 当且仅当 V（A）∉D；

V（A→B）∈D 当且仅当 V（A）∉D或者 V（B）∈D；

V（A↔B）∈D 当且仅当 V（A）∈D并且 V（B）∈D，或者 V（A）∉D并且 V（B）∉D。

显然，在任意n（n＞2）值逻辑中满足上述定义的强经典否定、强经典蕴涵和强经典等值不是一个，而是一类。

2.在任意值逻辑系统Q中，可以证明下列定理：

定理 1A，A→B╞B。

定理2下列公式都是有效式：

（1）（A↔ 「A）→B

（2）（A↔（A→B））→B

（3）（A↔（A↔B））→B

3.在任意值逻辑系统Q中，可以证明下列定理：

定理3在任意值逻辑系统Q中，取造集性质为“ 「（x∈x）”，由概括原则将导致悖论。

定理4在任意值逻辑系统Q中，取造集性质为“x∈x→B”，由概括原则将导致悖论。

定理5在任意值逻辑系统Q中，取造集性质为“x∈x↔B”，由概括原则将导致悖论。这三条定理说明，在保留概括原则和集合论基本定义的前提下，配以任意值逻辑系统作为推理工具都至少有三种方式可以导致悖论。

综上所述，在构成罗素悖论的三个推理要素中，要想通过修正逻辑系统来避免悖论是不可能的；这也恰恰可以说明，导致悖论的原因不在于逻辑系统，问题可能出在概括原则或者集合论的基本定义上。

最后，应该指出，在当今逻辑学界仍然活跃着两个势头正盛的通过修正经典二值逻辑来避免悖论的研究模式，一个是美国逻辑学家菲尔德（Hartry Field）的弗完全逻辑系统[8]，另一个是澳大利亚逻辑学家普利斯特（Graham Priest）的弗协调逻辑系统[9]。需要说明的一点是，本文作者的研究结论并不否定逻辑学界的这两项最新的悖论研究成果。这是因为，本文作者的研究结论基于的是函数完全的逻辑系统，而他们两位逻辑系统中所定义的算子都不是我们所定义的强经典算子。

[1] 林德宏.科学思想史[M].南京：江苏科学技术出版社，1985.

[2] 朱梧槚，肖奚安.数学基础概论[M].南京：南京大学出版社，1996.

[3] Meyer R K，Routley R，Dunn J M.Curry’s Paradox[J].Analysis，1979，（39）.

[4] Shen Yu Ting.Paradox of Class of All Grounded Classes[J].The Journal of Symbolic Logic，1953，（18）.

[5] 杜国平，等.集合论泛逻辑悖论[J].北京航空航天大学学报：自然科学版，2009，（3）.

[6] Moh Shaw-Kwei.Logic Paradox for Many-Valued Systems[J].The Journal of Symbolic Logic，1954，（19）.

[7] Zheng Yuxin，Xiao Xi'an，Zhu Wujia.Finite-Valued or Infinite-Valued Logical Paradoxes[C]//Proceedings，The Fifteenth Internationa Symposium on Multiple-Valued Logic，1985.

[8] Hartry Field.Saving Truth from Paradox[M].Oxford：Oxford University Press，2008.

[9] Graham Priest.An Introduction to Non-Classical Logic：Second Edition[M].Cambridge：Cambridge University Press，2008.