随机需求下易变质产品的订购与定价策略

兰德新，赵 萌

(武夷学院数学与计算机系，福建武夷山 354300)

在过去的几十年里，已有不少研究者致力于扩展经典的EOQ模型到包含易变质的情形。例如Ghere和 Schrader［1］通过考虑常数变质而给出了一个简单的 EOQ 模型，Covert和 Philip［2］以及 Tadikamalla［3］通过考虑变化的变质率而进一步扩展Ghere和Schrader的模型，Shah通过使用具有一般分布的变质率并允许短缺而将所有这些模型进行一般化。许多文献对允许缺货、短缺量部分拖后问题做了研究，如文献［4－5］考虑变质、短缺量部分拖后等因素，建立了单一产品的订价和批量的库存模型。文献［6－7］研究了允许缺货且带数量折扣的腐烂物质库存模型。但在实际的库存系统中，许多学者考虑了需求是随机变量的问题，如文献［8－9］考虑一类需求连续随机变质物品的库存模型。文献［10］采用周期盘点的(T，S)策略，在需求为连续型随机变量，提前期为0，缺货量完全延期供给且变质率为常数的情形下，研究了易变质产品的订购策略。

本文将在上述文献的基础上同时考虑拖后率和随机因素的这类问题，即:当产品发生连续变质时，变质率θ为固定常数;需求率为连续型随机变量并受产品的销售价格的影响;允许缺货，缺货部分延期供给，拖后率是β(t)=e－kt，k＞0，t是等待时间。最后给出了最优的订购与定价策略。

1 数学模型的刻画

考虑一类无限时间范围内，随机需求下缺货部分延期补给的易变质产品的库存优化模型。采用周期盘点的(T，S)库存策略，即每隔相同的订购周期长T，将库存水平瞬时补充到S。

图1描述系统的库存水平的变化状态，系统从0时刻开始运作，并且假定0时刻库存水平为S，此后产品以一定的速率连续出售，需求率，其中:p为单位产品的销售价格;X表示随机波动量，服从Gamma－分布Γ(λ，k)且λ＞0，k≥2;μ表示X的均值;d(p)=a－bp(其中a代表产品的市场基础)表示单位时间内的期望需求量，是p的单调递减函数。由于连续的需求和产品自身的变质使得库存水平不断下降，最终假定在τ时刻，库存水平下降到0;在τ时刻后，继续到来的需求量拖后补给，拖后率是 β(t)=e－kt，k ＞0，t是等待时间。

图1 产品的库存水平变化曲线

令Ix(t)为t时刻且随机变量X的实现为x时的库存水平，可以得到微分方程:

由边界条件Ix(0)=S及Ix(τ)=0求解微分方程(1)及(2)得:

再由式(3)及边界条件Ix(τ)=0可得

假设购买单位产品所需的可变订购成本为c，单位产品在单位时间内的库存成本为h，单位产品的缺货成本为π，单位产品丢单成本为p－π，则系统在［0，T］时间内各项费用计算如下:

1)总的期望收益

2)期望订购成本

3)期望库存成本

4)期望缺货成本和丢单成本

综上，库存系统总的期望利润函数可表述为:

总期望利润=总期望收益－(期望订购成本+期望库存成本+期望缺货成本+期望丢单成本)即

本文的库存模型为

2 模型分析

模型(7)是带约束条件的非线性规划问题，本研究的目标是寻找p，s的值，使得库存系统总的期望利润NP(p，s)最大。考虑到模型(6)的积分计算相当复杂，而实际应用中变质率0＜θ＜＜1，参数0＜k＜＜1，因此可以保证当x＞q时有，这样式(6)采用近似计算，对结果影响不太大。由式(6)得

对式(8)的项 e－kT和 e－θT利用泰勒展开，并保留3项，化简得:

将式(9)中的变量p，s替换为p，q，即得如下形式:

即

将式(11)代人(10)得

故

因为f(x)是Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0和k≥2)的密度函数，所以式(13)可以化为k次多项式方程，利用Matlab软件求k次多项式方程(13)的正的近似解且 r≤k。将代人式(11)求出满足的且 r≤k。比较 NP(pi*，qi*)的大小使NP(pi*，qi*)取得最大的NP(p*，q*)，再与边界上条件p=c和代人式(10)求得目标函数值最优的NP(c，q1)和进行比较，并取得最大的解(p*，q*)，对应的(p*，s*)即为模型(7)的最优策略。

3 算法与算例仿真

步骤1 模型，即式(10)对p求偏导，并令为，代人式(10)得

由于方程中的f(x)是Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0，k≥2)的密度函数，所以上述方程可化为k次多项式方程，利用Matlab软件求k次多项式方程的正的近似解，i，1，2，…，r且 r≤k。将代人式(11)求出满足的且 r≤k。比较的大小使取得最大的NP(p*，q*)。

步骤3 比较目标函数值NP(p*，q*)与边界上目标函数值最优的NP(c，q1)和，其中使目标函数值NP(p，q)达到最大的(p*，q*)对应的(p*，s*)即为模型的最优订购策略。

为了便于验证和说明此库存系统的模型，本文给出模型中涉及到的随机变量X的概率密度函数和各种参数的取值，设随机变量X的密度函数为

参数 T=10，c=100，θ=0.01，k=0.02，π =80，h=20，d(p)=500 －0.5p，经过计算式(13)化为

其近似解q*≈3.795，将q*≈3.795代入式(11)得方程:

其近似解 p*=522.387 33，此时对应的 s*=4 765.485，NP(p*，q*)=1 149 879.21。

而边界上目标函数值NP(100，q1)和 NP(1 000，q2)均小于NP(p*，q*)，通过比较我们得到最优订购策略(p*，s*)=(522.387 33，4 765.485)。

4 结束语

本文针对随机波动量为一类Gamma－分布Γ(λ，k)(λ＞0，k≥2)时，且短缺量部分拖后的情形下，建立了单一易变质产品的随机库存模型。库存策略为周期盘点的(T，S)策略。采用最小二乘法原理以及泰勒展开对模型进行了分析和近似求解，给出求解其最优的订购策略的算法步骤，并给出算例进行仿真，得到了订购的近似最优策略(p*，s*)。还可以考虑库存策略为连续盘点的(T，S)策略，以及随机波动量为一般分布及需求率为一般函数的情况和库存策略为周期盘点的(s，S)策略等进行研究。

［1］Ghare P M，Schrader S F.A model for exponentially decaying inventory［J］.Journal of Industrial Engineering，1963，14:238 －243.

［2］Covert R P，Philip G C.An EOQ model for items with Weibull distribution deterioration［J］.AIIE Transactions，1973，5(4):323－326.

［3］Tadikamalla P R.An EOQ inventory model for items with Gamma distribution［J］.AIIE Transaction，1978，10(1):100 －103.

［4］Abad P L.Optimal pricing and lot sizing under conditions of perishability and partial backordering［J］.Management Science，1996，42:1093－1104.

［5］Abad P L.Optimal pricing and order size for a reseller under partial backordering［J］.Computers and Operations Research，2001，28:53 －65.

［4］Papachristos S，Skouri K.An inventory model with deteriorating items，Quantity discount，pricing and time-dependent partial backlogging［J］.International Journal of Production Economics，2003，83:247 －256.

［5］Shah Y K，Jaiswal M C.An order-level inventory model for a system with constant rate of deterioration［J］.Operations Research，1979，14:174 －184.

［6］莫降涛，徐春明.允许缺货且带数量折扣的腐烂物质库存模型［J］.数学的实践与认识.2010(5):1－8.

［7］周永务，王圣东.库存控制理论与方法［M］.北京:科技出版社，2009.

［8］题正义，郑九龙，张仕伟.需求连续随机的库存模型改进［J］.辽宁工程大学学报，2006(2):276－278.

［9］李银侠，杨茂盛.一类需求连续随机变质物品的库存模型［J］.商品储运与养护，2007(2):31－32.

［10］冯颖，蔡小强，涂菶生，等.随机需求情形下单一易变质产品库存模型的订购与定价策略［J］.南开大学学报:自然科学版，2010(2):106－112.