一类三阶非线性时标动态方程的振动性*

张少艳，王其如

(1．广东金融学院，广东 广州 510520；2．中山大学数学与计算科学学院，广东 广州 510275)

2009年，Hassan在文献[1]中给出了方程

,x(τ(t)))=0

(1)

2010年，Erbe等在文献[2]中也对(1)在(H1)-(H3)成立时进行了研究，给出了异于文献[1]新的振动准则，但文献[2]中同样要求τΔ(t)≥0。其它相关结果，可参见文献[3-10]。

为了书写的方便，我们记x(σ(t))=xσ(t)=xσ。

我们研究的是方程(1)的解的振动性质,所以我们假设上述方程是在无上界的时标上讨论的,即形如[a,∞)的时标。方程(1)的解x(t)称为振动，若x(t)既不是最终正解，也不是最终负解，否则，称x(t)为非振动的。方程(1)称为振动的，如果它的所有解都是振动的。

本文由三部分组成，第一部分为基本引理，第二部分为主要定理，第三部分给出2个应用的例子。

1 基本引理

下面，我们给出第一个引理

对上式积分可得

≥

(2)

引理5[3]若x(t)是时标上可导函数，且xΔ(t)≥0，则有下列不等式成立：

(i)若γ≥1，则((x(t))γ)Δ≥γ(x(t))γ-1xΔ(t)；

(ii)若0<γ<1且x(t)·x(σ(t))>0，则((x(t))γ)Δ≥γ(x(σ(t)))γ-1xΔ(t)．

引理6[4]若x，z是时标上的可导函数，则对x≠0,∀t∈T，有

2 主要结果

[z(s)Q(s)-

证明假设方程(1)的解非振动，不失一般性，我们假设∃T∈[t*,∞)，x(t)>0(t≥T)，则引理1-3成立。

定义Riccati变换

(t≥T)

(3)

对上式求导可得

由(1)及(H3)可得

由(2)式，可得

(i)当γ≥1时,由引理5可得

(∵xΔ>0,σ(t)≥t)

(4)

故

≤,xσ≥x

(5)

(6)

(ii)当0<γ<1时,由引理5可得,

由(5)式，xΔ(t)>0及σ(t)≥t可得

与(6)式相同。由引理2可得

对上式从T到t(≥T)积分，可得

故结论成立。证毕。

下面，我们将给出一个推广的Kamenev型振动准则。

令D0={(t,s):t>s≥t0,t,s∈T},D={(t,s):t≥s≥t0,t,s∈T},H(t,s)∈Crd(D,R)，H满足以下条件

(a)H(t,t)=0,(t≥t0);H(t,s)>0,(t,s)∈D；

证明由定理1的证明可得

由分部积分公式可得，

故

故

(t,s)Q(s)z(s)-

可知与条件矛盾，故方程的解振动．证毕。

成立，若存在一个Δ可导的正函数z，使得

证明假设方程(1)的解非振动，不失一般性，我们假设∃T∈[t*,∞)，x(t)>0(t≥T)，则引理1-3成立。

定义Riccati变换如(3)式，则可得

可知与条件矛盾，故结论成立．证毕。

下面将给出γ≥1时的相应结论。

Δs=∞

证明假设方程(1)的解非振动，不失一般性，我们假设∃T∈[t*,∞)，x(t)>0(t≥T)，则引理1-3成立。

定义Riccati变换如(3)式，由(4)-(6)式可得

由引理2可得

配方得

对上式从T到t(≥T)积分，可得

与条件矛盾，结论成立。证毕。

下面我们给出定理4对应的Kamenev型振动准则。

(t,s)Q(s)z(s)-

证明假设方程(1)的解非振动，不失一般性，我们假设∃T∈[0,∞)，x(t)>0(t≥T)，则引理1-3成立。由定理4证明可得

由分部积分公式可得

故

对上式从T到t(≥T)积分，可得

故结论成立。证毕。

Δs=∞

证明假设方程(1)的解非振动，不失一般性，我们假设∃T∈[t*,∞)，x(t)>0(t≥T)，则引理1-3成立。

定义Riccati变换

对上式求导得

由引理3及引理5-6可得

又由引理2可得

对上式从T到t(≥T)积分，可得

可知与条件矛盾，故结论成立。证毕。

3 例 子

例1 考虑方程

t∈[1,+∞)

(7)

Δs=

故方程(7)的解或振动或趋向于0。

例2 考虑方程

t∈[1,+∞)

(8)

Δs=

故方程(8) 的解或振动或趋向于0。

参考文献：

[1]HASSAN T S.Oscillation of third order nonlinear delay dynamic equations on time scales [J].Math Comput Model,2009,49:1573-1586.

[2]ERBE L,HASSAN T S,PETERSON A.Oscillation of third order nonlinear functional dynamic equations on time scales [J].Differential Equations Dynamical Systems,2010,18:199-227.

[3]ZHANG S Y,WANG Q R.Oscillation of second-order nonlinear neutral dynamic equations on time scales [J].Appl Math Comput,2010,216: 2837-2848.

[4]AKIN-BOHNER E,BOHNER M,SAKER S H.Oscillation criteria for a certain class of second order Emden-Fowler dynamic equations [J].Electronic Transactions on Numerical Analysis,2010,27: 1-12.

[5]BOHNER M,PETERSON A.Dynamic equations on time scales [M].Birkhäuser,Boston,2001.

[6]SAKER S H,AGARWAL R P,O’REGAN D.Oscillation results for second-order nonlinear neutral delay dynamic equations on time scales[J].Applicable Analysis,2007,86:1-17.

[7]WANG Q R.Oscillation criteria for nonlinear second order damped differential equations [J].Acta Math Hungar,2004,102: 117-139.

[8]WANG Q R.Interval criteria for oscillation of certain second order nonlinear differential equations [J].Dynamics of Continuous,Discrete and Impulsive Systems,Series A: Math Anal,2005,12: 769-781.

[9]WU H W,ZHUANG R K,MATHSEN R M.Oscillation criteria for second-order nonlinear neutral variable delay dynamic equations [J].Appl Math Comput,2006,173: 321-331.

[10]YU Z H,WANG Q R.Asymptotic behavior of solutions of third-order nonlinear dynamic equations on time scales [J].J Comput Appl Math,2009,225 (2): 531-540.