Blow-up流形的Gromov-Witten不变量的一个为零定理*

戚晓霞

(中山大学数学与计算科学学院,广东 广州510275)

1 Gromov-Witten不变量及其退化公式

1.1 GW-不变量

c1(A)+(n-3)(1-g)+k

(1)

其中c1是X的第一陈类。

给定α1,…,αk∈H*(X),定义GW-不变量为

其中{αi}应满足维数条件：∑degαi=2c1(A)+2(n-3)(1-g)+2k,否则定义不变量为0。

1.2 相对GW-不变量

设D⊂X为X中一个光滑除子,即一个余维-2的辛子流形,且D是J-全纯的，即J(TD)⊂TD。给定A∈H2(X)满足A·D≥0，则相对J-全纯曲线的模空间为

u*[Σ]=A,Σμi=A·D,

u-1(D)=Σμiyi,μ=(μ1,…,μr)}

c1(A)+(n-3)(1-g)+k+r-A·D

(2)

给定α1,…,αk∈H*(X),β1,…,βr∈H*(D),定义相对GW-不变量为

1.3 辛切割及退化公式

使得π|XH-1(0)=id，并且π|H-1(0)是商映射H-1(0)→Z。考虑

命题1[11-12]

(3)

命题2[11]

dimCM++dimCM-=dimCM+(n-1)l(μ)

(4)

2 主要结果及其证明

其中n≥3，r>0，p!=PD∘P*∘PD。

⊕O)，≅

(5)

其中μ=(μ1,…,μl(μ))是E·(p!(A)+re)的一个划分，{βj}是H*(E)的任一组自对偶基底。这里E+应该被看作是P1-丛PE(O(-1)⊕O)的无穷截面，而E+≅E-≅E。

(p!(A)+re)+=aL+be,a≥0,b≥0

∑μi=H·(p!(A)+re)+=a

(6)

因为E+·(p!(A)+re)+=-r，于是

-r=E·(p!(A)+re)+=a-b

(7)

因此由(6)-(7)式得,b=∑μi+r，所以(p!(A)+re)+=∑μiL+(∑μi+r)e。

(1-g+)+k+l(μ)-∑μi=

[(n+1)H-(n-1)E]·[∑μiL+(∑μi+r)e]+

(n-3)(1-g+)+k+l(μ)-∑μi=

n∑μi+(n-1)r+(n-3)(1-g+)+k+l(μ)

不妨假设

∑

如果00，那么

另一方面,由维数关系(4)得

(n-2)l(μ)-n∑μi=

n(l(μ)-∑μi)-2l(μ)<

由GW-不变量的定义，(5)式右边每一项的第二个不变量都为零，因此(5)式为零。 □

注1 我们同时证明了n=2的情况，即当W(α)满足0

注2 定理1是对文[10](Proposition3.1)的推广,我们这里证明了对任意辛流形以及g≥0的结果,并且当g=0时，扩展了W(α)的取值范围。

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