非寿险费率厘定中的损失函数研究

张俊岭

摘 要：在全球保险费率市场化大背景下，随着保险费率监管的不断放松，各国实力雄厚的大保险公司迫于市场竞争的压力，纷纷开始制定适合本公司特点的费率系统。保险公司理想的费率厘定模型是在不同类别保单持有人之间能够公平地分配保险风险损失，实现对投保人收取与之风险状况相一致的风险保费的最终目标。由于不同的损失函数能够对保费厘定系统中的奖惩机制进行不同的调节，从而可以较好地实现投保人之间保费的公平分担问题。因此，在费率厘定系统的构建过程中，损失函数的选择处于至关重要的一环。

关键词：保险；费率厘定；损失函数；最优解

中图分类号：F840.4文献标识码：Ａ文章编号：１００６－３５４４（２０12）０1－００79－04

一般来说，二次损失函数在保费厘定过程中是作为标准的损失函数，但是这种损失函数由于自身的对称性，在保费奖惩机制中具有较大的弊端，表现为：对于风险状况良好的投保人给予较大的折扣力度，而对于风险状况较差的投保人却给予了很大的惩罚力度，这样可能会造成风险状况差的投保人所缴纳的保费用于补贴风险状况好的投保人，这是与保险公司向投保人收取与之风险相适应的基本保费原则相违背的。 而指数损失函数却能很好地解决这一奖惩不公平问题，主要表现为：能够降低给予风险状况良好的投保人的折扣力度， 同时减少对于风险状况不佳的投保人的惩罚力度。从而， 较好地实现了投保人之间保费的公平分担问题。 下面来分别介绍二次损失函数与指数损失函数。

一、费率厘定中的损失函数

（一）符号定义及假设

1． 随机变量序列X={X1，X2，…，Xn}，且假定Xi仅仅依赖于?专i，Xi存在有限的二阶矩；Xi|?专i是相互独立的。

二、不同损失函数假设下的最优解

（一）二次损失函数假设下的后验保费最优解

在二次损失函数下，假定结构参数?撰i服从两参数分布Gamma（?琢，?子），索赔次数模型的最优解为：

精算解释为：在投保人的索赔历史记录既定时，指数损失函数的后验校正的力度弱于二次损失函数。也就是说，相比之下，指数损失函数下构建的费率系统，给予先验保单总体均值较大的权重，而赋予后验观测均值较小的权重，体现了较好的稳定性。

2．随着不对称因子c的无限增大，指数损失函数假设下的信度因子Ze趋向于0

精算解释为：在不对称因子c趋向于无穷大时，经验费率模型的后验校正力度逐渐变弱，所有的费率单元内投保人风险同质性增强。当达到无穷时，先验变量同质分组充分有效，后验校正完全丧失其作用。

3．随着不对称因子c趋向于0时，两种损失函数假设的信度因子相等

精算解释为：在不对称因子c趋向于0时，两种损失函数假设下的后验校正效果完全等价，可以相互替代得到相同后验保费。

三、实证分析

（一）数据列表

本文采用的数据为国内某家商业保险公司医疗保险的一组分类数据，其中包括1161条医疗保险理赔次数数据。通过采用先验分类变量性别和年龄组别交叉分组后确定的保单数及索赔次数分组数据详见表1，其中性别有男、女两个水平，年龄组别有≤60和>60两个水平。

（二）不同损失函数下的结果分析

在两种损失函数下，通过表2所列举的不同类别的费率列表结果来看，在分类费率模型下，可以得到的结论为——从后验校正力度来说，指数损失函数弱于二次损失函数。也就是说，针对同一个费率单元不论在何种模型下，采用指数损失函数使得奖励幅度减小的同时，惩罚的幅度也在减小。指数损失函数较弱的校正力度优势在于： 在减少给予风险状况良好的投保人较大优惠幅度的同时，也降低了给予风险状况认定不佳的投保人的惩罚力度。原因在于，整个保费系统是财务平衡的，当奖励幅度减小时，惩罚的幅度也同样减小。这样一来，真正有利于保费公平原则的实现，减少了由于先验变量分类造成异质性，所带来的风险状况不好的投保人被收取了较多的惩罚性保费来用于补贴风险状况好的投保人享受了较大幅度优惠而少收取的保费的不合理现象。

参考文献：

［1］Antonio，K.，Beirlant，J.，“Risk Classification in Non-Life Insurance”，Working Paper，2006.

［2］Bühlmann，H.，“Experience rating and credibility”，ASTIN Bulletin，Vol.5，No.2，1969，pp.157-165.

［3］Denuit，M.，Marechal，X.，Pitrebois，S.，Walhin，J.F.，“Actuarial Modelling of Claim Counts: Risk Classification，Credibility and Bonus-Mallus Scales”，Wiley，New-York，2007.

［4］成世学. 关于可信性模型的若干评注［J］. 应用概率统计，2002，18（4）：438-448.

［5］雷怡林，王黎明，王静龙. 风险非同质时索赔次数的分布拟合的估计与检验问题［J］. 数学的实践与认识，2001，31（6）：669-674.

［6］孟生旺，袁卫. 对损失规律的一种新解释:混合负二项分布及其应用［J］. 统计研究，2001（4）:46-48.

［7］王奕渲，周叔子. 一种基于索赔次数和索赔额的奖惩系统［J］. 湖南大学学报，2002，29（6）：7-12.

［8］毛泽春，刘锦萼. 一类索赔次数的回归模型及其在风险分级中的应用［J］. 应用概率统计，2004，20（4）：359-367.

（责任编辑：郄彦平；校对：李丹）