关于“数学是什么”的思考

陈士文 周建军

“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”（英国数学家罗素语）

那么数学是什么呢？高斯说：“数学是科学的皇后。”伽利略说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。”爱因斯坦说：“这个世界可以由音乐组成，也可以由数学公式组成。”

数学身份尊贵，地位显赫，无之不可。“科学皇后”“宇宙文字”“世界组成”都是诗化的语言和比喻的描述，从学术的角度上，并未回答出“数学是什么”。

让我们打开浙江师范大学张维忠教授的专著《数学文化与数学课程》：“数学对象终究不是物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，它是一种人为约定的规则系统。为了描绘世界，数学家们总是在发明新的描述形式，除了在科学技术方面的应用外，同样还具有精神领域的功效（比如通常人们所说的数学观念，如推理意识、化归意识、整体意识、抽象意识、数学审美意识等）。因此，从以上两方面的意义上来说，数学就是一种文化。”

张维忠教授认为数学是一种文化，《数学文化与数学课程》一书的第四章《数学的文化价值》从六个方面加以阐述，即：“数学——打开科学大门的钥匙；数学——科学的语言；数学——思维的工具；数学——一种思想方法；数学——理性的艺术；数学——充满理性精神。”

无独有偶，东南大学博士生导师王元明教授的观点与之是英雄所见略同，其所著的《数学是什么》分四个要点阐述，意在回答“数学是什么”：1.数学是一种语言，一切科学的共同语言。2.数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙。3.数学是一种工具，一种思维的工具。4.数学是一门艺术，一门创造的艺术。

综合两位教授的观点，“钥匙”“语言”“工具”“艺术”等名词依然是譬喻。数学的本质是什么呢？甘肃政法学院计算机学院王汝发教授撰写了《关于“数学是什么”的哲学反思》一文，文中把对“数学是什么”的回答归为两类，摘要如下：

隐喻性回答：

1.数学是打开科学大门的钥匙。因为“数学是一门科学”这是我们大家公认的，而自己是打开自己大门的钥匙！这似乎有点解释不通，这对于“数学是什么”的问题来说又似乎什么都没说——试问哪一门学科不是打开科学大门的钥匙？

2.数学是科学的语言。数学和语言在许多方面是不同的，如孙宏安所说：“不仅外延有较大的不同，而且种属关系也不一致。”因此这种比喻不但没有解决数学问题的性质，甚至本身也有不能自圆其说之嫌。

3.数学是思维的工具。认为数学是思维的科学，一个是工具而另一个是科学，将二者联系起来就有点逻辑问题，因为科学与工具相差还是很大的。

4.数学是理性的艺术。数学与艺术有着很多的本质不同，因为数学讲究的是论证简洁、推理严谨、文体优美、思路清晰、形式对称等，而艺术则是一种创作，要求特立独行、张扬个性，不允许有雷同。

5.数学是一种理性精神。说数学是一种理性的精神，仍需重新面对“数学是什么”的问题。

实质性回答：

1.形式倾向性说法。数学是一门演绎科学。推动数学发展的主要动力是归纳而不是演绎，这种说法侧重于数学的演绎性而忽略了数学的经验性特点，并不能反映数学的全貌。

2.综合性说法。数学是一门演算的科学。直接将“演”“算”——演绎证明作为“数学是什么”来回答等于又回到原来的问题；其次是计算机技术已从数学学科中分离出来，已经成了一门独立的学科，因此这种定义仍不能令人满意。

3.对象性说法。数学是研究数与形的科学。这种定义在过去数学发展的一定时期内是极其精辟和完美无缺的，但数学的发展使其原来的定义已无法适应新形势下数学发展的需要。

反思终归是反思，好像并未立论。就此为止，我们仍未得到“数学是什么”的本质回答，究竟数学是不是一门演算的科学？

中国社会科学院哲学所教授林夏水撰文《论数学的本质》，认为：“‘演算概括了数学研究的特点，反映了数学的经验性与演绎性及其辩证关系，我们有理由把它作为对数学本（性）质的概括，说‘数学是一门演算的科学。”

随即，陕西师范大学数学与信息科学学院教授黄秦安提出反对意见。黄秦安教授在《我们应该如何认识数学的本质——对林夏水先生“论数学的本质”一文的商榷》一文中写道：

“从逻辑的角度看，‘数学是一门演算的科学的结论既有定义过宽的缺点，又有定义过窄的缺陷。如果数学可以归结为‘演与算，那计算机就是水平最高的数学家了。”

文摘摘到现在，我们并没有从学术的角度，把数学与哲学、数学与科学、数学与艺术作比较研究。当我们读到中国科学院数学研究所教授胡作玄的专著《数学是什么》时，我们有了新的认识。胡作玄教授从比较的视角着力分辨出数学本质的不同之处。

数学与哲学的区别：

1.哲学较大程度上是主观知识，而数学则是客观知识。

2.哲学围绕少数伟大的哲学家的论题发展，数学则是积累的、不断进步的、逐步系统化的知识领域。

3.哲学和数学各有其关联的范围：哲学关联的范围广，但强度弱；数学关联度强，它把许多领域转化为科学。

数学与科学的区别：

1.自然科学以现实世界的事物及对象为对象；数学则以抽象模型、抽象形式、抽象关系为对象，这样的对象可以来自自然界，也可来自社会，其后来自原有概念的演化及加工。

2.自然科学的目标是寻求对客观事实的解释，建立理论并提出可证实或证伪的预言，这些往往称为定律或规律；数学的目标则是寻求概念之间的逻辑关系，其结果形成定理或算法。

3.自然科学的确证必须靠观察和实验的经验证明，当然它也依赖于理论的结果与已知确证的理论不相矛盾。自然科学是站在理论和实验两条腿的基础上；数学只有一条腿，即逻辑的无矛盾性。

4.自然科学的“真理”有其近似性和相对性，而数学的真理则是绝对的和不朽的。

5.自然科学工作的本质是发现，数学工作的本质是发明。

数学与艺术的区别：

1.数学求真，艺术求美。真对数学来说是第一性的，而美是第二性的。

2.数学具有积累性、进步性、历史性，数学同一领域的结果有可比性；艺术则缺乏可比性，既没有横向的可比性，也没有历史的可比性。

3.数学强调一般性、统一性，数学的理解有程序性，也就是需要按部就班的学习与掌握，大部分数学缺少直观性常常构成理解上的困难；而艺术强调个性、特殊性，但并不因此更难理解，因为艺术作品带有直观性和直感性。艺术理解的困难在于对情境的陌生。

《什么是数学》是由美国两位数学教授柯朗、罗宾合著的，美国数学教授斯图尔特在修订版的《什么是数学》一书的序言中申明：

“《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想：‘数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。”

柯朗、罗宾认为：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。唯一能回答‘什么是数学这个问题的，不是哲学，而是数学本身的活生生的经验。”

同样，我们可以读到浙江大学教授蔡天新在《数学与人类文明》一书中的观点：“数学与科学、人文的各个分支一样，都是人类进化和智力发展进程的反映。它们在特定的历史时期必然呈现出某种相通的特性，甚至相互影响。在按时间顺序讲述不同地域文明的同时，我们先后探讨了数学与各式各样的文明之间的关系。例如，埃及和巴比伦的数学源于人们生存的需要，希腊数学与哲学密切相关，中国数学的活力来自历法改革，印度数学的源泉始于宗教，而波斯数学和天文学互不分离。进入20世纪以后，抽象化成为数学和人文的共性。”

数学不仅来源于人们生存的需要，最终也还是要返回到这个世界中去的。

逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性、抽象化……这是数学的本质吗？还有“数学是关于数和形的科学”“数学是关于模式和结构的科学”等，不同时代不同论述，难道我们莫衷一是吗？还是历史辩证的分析呢？且看下面的观点：

关于数学本质的问题是一个具有时代性、前瞻性、发展性、综合性的数学、哲学核心问题。在数学的任何发展阶段都不可能有固定的、永恒不变的答案，这应该成为数学哲学研究的一条认识论原则。单纯片面地从某个角度去看数学的本质都是有失偏颇的。

——摘自陕西师范大学教授黄秦安《我们应该如何认识数学的本质》

对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉。

对数学本质的认识，是数学认识的一个根本性问题，也是数学教育论的一个根本性问题。

人们对数学的不同感受可以得出对数学本质完全不同的认识，从不同的角度观察数学也可以得出对数学本质的不同理解。所以，对数学本质下一个统一的定义，既不大可能，也没有必要。并且，我们最好不要花太多的精力去思考哪一个关于数学本质的定义更合乎自己的认识，因为这是无关紧要的。对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉。

——摘自湖南大学衡阳分校副教授黄光荣《对数学本质的认识》

不想再摘了，摘多了，可能会应了法国数学家安德烈·韦伊的话：“数学的特别之处，就是它不能为非数学家所理解。”

我们要思考！我们不是数学家，我们是数学教育工作者，我们是小学数学教育工作者。那么小学数学是什么？小学数学教育是什么？

中国科学院院士张景中提出了从“数学教育”到“教育数学”的观点。张景中、曹培生教授合著《从数学教育到教育数学》（中国少年儿童出版社出版）一书的前言及后记中这样写道：“为了教育的需要，对数学研究成果进行再造式的整理，提供适于教学法加工的材料，往往需要数学上的创新，这属于教育数学的任务。

所谓教育数学，就是为了教育而做数学。它和数学教育有关系，但又不相同。数学教育着眼于教学法和如何对数学材料进行教学法的加工，是为了数学而做教育，并不承担数学上的创造工作，也就是并不做数学；教育数学则实实在在是要做数学的。”

英国数学家阿蒂亚说：“数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界。如果我们积累起来的生活经验要一代代传下去，就必须不断地努力把它们简化和统一。”

波兰数学家马克·卡茨说：“推广与抽象是数学最重要的工作。正是由于推广与抽象，数学才能具有如此不可思议的有效性。”

简化和统一、推广和抽象……就是为了教育而做数学——教育数学。

文章写到此，我们应该明白了，我们不是从数学家的角度为数学定义，而是为小学数学，为小学数学教育，为了小学生享受数学教育。

“对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉。”（黄光荣语）我的心灵感悟是“智慧数学”，数学是一种智慧，数学教育为了学生智慧的生长。小学数学教育，为什么不是“智慧数学”呢？

我们在思考：数学带给我们的是什么呢？

数学家华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁……无一不可用数学来表达。”这是数学应用的广泛性，那么这种应用是不是数学简单的“被应用”呢？这让我们想起海王星的发现，海王星的发现不是望远镜的应用，实质是数学的预测，望远镜只是确证而已。

再者，是电脑应用了数学的二进制呢，还是数学促成了电脑的发明呢？

显然，数学不是简单的“被应用”。我们向前倒溯，在数学应用之前呢？是什么在推动着我们？我们在数学教育中的收获是什么呢？

让我们来品味美国数学家、教育家克莱因的感悟：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”

数学是否能“给予一切”，也许我们不能完全参透克莱因先生之意，但这“一切”中的“一”是什么呢？是“抚慰情怀”？是“赏心悦目”？是“动人心弦”？还是“获得智慧”呢？

我们想起曾入选全球最伟大的十大公式之一：“1+1=2。”

1+1=2，是1片树叶+1片树叶=2片树叶，也可以是1棵树+1棵树=2棵树，还可以是1座森林+1座森林=2座森林……总之，数学将它们统统抽象为1+1=2，此乃整体的视野、简洁的智慧，也应哲人论断：“简洁乃天才之姊妹。”

1+1=2吗？1座森林+1座森林抑或还是1座森林，1+1=1，无限+无限=无限，哈哈！1+1=2与1+1=1竟如此和谐相处。

数学没有止于1+1=2、1+1=1，不是还有1+1=10吗？（数学十进制是1+1=2，二进制是1+1=10）这是数学多向探索的自由，这是数学发明创造的智慧。

“哲学使人获得智慧”，而“数学是辩证法的姊妹”。哲学家恩格斯曾感慨：“没有数学，看不到哲学的深度，没有哲学，看不到数学的深度，而没有两者，人们就什么也看不透。”哲学是关乎人和世界本原的思考，数学是人和世界发展的智慧；哲学的本意是爱智慧，数学是不是就是智慧呢？

我们在继续思考，数学是什么？小学数学是什么？小学数学教育是什么？？筻

此文是全国教育科学规划单位资助教育部规划课题——《小学数学课程核心内容（智慧数学）及其教学的研究》的成果（课题批准号：FFB108202）。