大学物理实验中不确定度的应用

穆松梅

摘 要：本文总结了在大学物理实验中规范使用不确定度的方法、原则。

关键词：大学物理实验 不确定度 置信因子 表示方法

在大学物理实验中，有一个非常重要的环节，就是数据处理过程中要对实验结果的不确定度做出分析，这既是准确表达实验结果的必要条件，又是分析误差来源的主要渠道。但由于不确定度的使用引入时间短，不确定度的相关概念及在不同情况下的应用公式非常繁杂，使用者对不确定度的认识并不完全一致，这一概念的认识和应用还存在一些问题，有待进一步研究、探讨并逐步规范。

1.不确定度的定义

在DF1001-1998《通用计量术语及定义》中，对不确定度所做的定义为：表征合理地赋予被测量量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。通俗讲，它的含义是指由于测量误差的存在，对被测量量值的不能肯定的程度，反过来，也表明该结果的可信赖程度。测量结果的不确定度是独立而又密切与测量结果相联系的，是表明测量结果分散性的一个参数。在报告物理量的测量结果时，必须给出相应的不确定度，一方面便于使用它的人评定其可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比性。

2.不确定度的表示方法

在实验过程中，影响测量结果的因素很多，不确定度是综合分析了各因素对实验影响程度的基础上的合成结果。将这些因素主要分为两类，即A类不确定度（不确定度的A类评定）U和B类不确定度（不确定度的B类评定）U。该划分仅在于说明计算测量不确定度的两种不同途径，并非在本质上有何区别，它们都是基于概率分布，都是用分差和标准差来定量描述，但在评定方法上存在一定区别。实验结果的不确定度U是A类不确定度U和B类不确定度U共同合成的结果。表示为

U=（1）

2.1 A类不确定度

用对观测列进行统计分析的方法来评定的不确定度的方式称为A类不确定度，也称为不确定度的A类评定。由于偶然效应，被测量值是分散的，以测量列的标准偏差作为不确定度A类分量的评定。对同一被测量量X在相同条件下的n次测量值X，X，…，X，当用单次测量值作为实验的结果时，其单次实验值的标准偏差为

S=（2）

如果以n次测量的平均值作为测量结果，则其算术平均值的标准偏差为

S==（3）

当测量结果是由与该分量对应的影响测量的单次数据得到时，在测量不确定度概率中用样本的标准偏差S作为标准不确定度的值。即

U=S（4）

当测量结果是由与该分量对应的影响量的n次测量平均值得到时，在测量不确定度概算中用平均值的标准偏差S作为标准不确定度的值。即

U=S=（5）

作为不确定度的A类评定，其重复测量的次数应该足够多，但有些实验由于条件限制，只能做较少次数的测量，例如样本的理化参数会随着实验次数的增加而变化时，就不宜多次测量。测量次数少时，由上式算出的标准偏差可能会被严重低估，这时应采用基于t分布确定的包含因子来表示A类不确定度，也称扩展不确定度。即

U=t（6）

式中t为与一定置信概率相联系的置信因子，按照自由度v=n-1查置信概率为p的t分布表得出t，如表1。

應该指出，加入置信因子的原因是由于测量次数太少而使得计算得到的实验标准偏差变得不可靠，而不是测量次数太少而使实验标准偏差变小，因此采用置信因子的方法得到的扩展不确定度往往稍大。所以一般在不确定度的A类评定中，重复实验次数n≥10时，可以不考虑置信因子。

2.2 B类不确定度

B类不确定度指用任何非统计的方法对不确定度的评定。获得B类不确定度的来源一般包括：已有的观测数据，实验中有关技术资料和对测量仪器的特性了解和经验，生产部门提供的一些技术参数，准确度等级等。由此采用先验的概率分布，根据其变化的全部信息视具体情况而对被测量量值的不确定度进行合理判断和估算。

在大学物理实验中，常以仪器的系统误差作为考虑B类不确定度的主要因素，B类不确定度决定于仪器的误差极限及其分布类型。如果仪器的误差极限为△，并且其为有界分布，那么B类不确定度就可以表示为

U=（7）

其中K是仪器误差概率分布的置信系数。虽然存在各种分布类型，但在大学物理实验中比较常见的有三种分布，即正态分布、矩形分布（均匀分布）、U形分布。其置信系数分别为3、、，置信概率为P=0.95。如果实验中无法判读分布类型，一般采用矩形分布，即取K=。例如，用电流表对电流I进行单次测量，其B类标准不确定度可表示为U==，式中a为电表级别。

2.3合成不确定度

当待测量是直接测量量时，合成不确定度为

U=（8）

当待测量Y=f（X、X…X）为间接测量量，并且X间无相关，则合成不确定度

U=（9）

其中U为各个直接测量量的合成标准不确定度。

当函数Y的形式以乘、除、乘方等为主时，相对合成标准不确定度为

U=（10）

3.测量结果的不确定度表示

实验结果的完整表示应报告其不确定度。一般有合成标准不确定度和扩展不确定度两种形式。目前我国和大多数国家的标准和技术规范都要求在测量结果中给出足够可靠的置信区间，即要求给出测量的置信概率p≥0.95的扩展不确定度。其规范表达形式为

Y=±U（计量单位）（11）

t=2；置信概率P=0.95，式中U为扩展不确定度。

结果表示中不确定度的有效数字，取一位或两位，而测量结果的位数由不确定度的位数决定，其末位与不确定度的末位保持一致。

需要说明的是，以上计算不确定度中没有考虑自由度的影响，主要是限于大学物理低年级学生的接受能力，省略了相关的计算会对不确定度的结果有一定的影响，但对于这个级别的实验，这种计算的精度已达到测量的要求。

参考文献：

［1］刘智敏.不确定原理［M］.中国计量出版社，1993.

［2］李慎安.测量结果与不确定度表示［J］.中国计量，2002，12.

［3］宋文福，朱力.不确定度的估算与表示［J］.大学物理实验，2004，3.