由椭圆定义的发现谈数学教学的自然性

蔡乾江

【摘要】数学的教学活动应体现学生的主体地位，需要引导学生进行观察、思考、探究，让学生自己去发现问题、提出问题，通过亲身实践、主动思维，经历不断地从具体到抽象、从特殊到一般的抽象概括活动来理解和掌握数学基础知识，并让学生掌握科学的思维方法，才能真正学会数学.

【关键词】数学教学;自然性;学生主体;椭圆定义

高中数学新课程标准要求在数学教学中，强调对数学本质的认识.在普通高中课程标准数学实验教材的“主编寄语”中明确说明：数学是有用的数学，是自然的数学，是清楚的数学.南京大学的郑毓信教授在《关于“问题解决”的再思考》中也提出：只有通过深入地揭示隐藏在具体数学知识背后的思维方法，我们才能真正做到把数学课“讲活”、“讲懂”、“讲深”，也才能使学生真正看到思维方法的力量，这样才不会变成一门纸上谈兵、借题发挥的空洞“学问”.因此，教师在平时的数学教学中应突出知识产生的自然性与合理性.

下面，笔者以椭圆定义的发现为例来说明这一问题.

在老教材中，课本先以情景方式举出了行星运行轨道、汽车油罐等相关椭圆的例子，然后用绳子画椭圆，再由画法归纳出椭圆的定义；在现在的课本中，直接给出了椭圆的画法和定义.不管是老教材还是新课本，这种知识的传授都只能让学生“被动地接受”,而不是“主动地建构”.让学生迷惑的是，这一画法是怎样得出来的？为什么会想到这种画法？椭圆的定义来得非常“空洞”.当学生离开课本后，不能真正得到其本质的东西，让学生感到这一概念来得极其的“不自然”，有一种“强加于人”的感觉.

为解决这一问题，笔者在教学实践中，对该节内容作了重新处理.先让学生完成两个实验.

实验1：将一个球体置于桌面上，用一束光线斜射（即不垂直于桌面）在球体上，观察球体在桌面上形成的影子.（让学生对椭圆有一个感性认识）

实验2：在圆锥中，用不平行于底面的平面去截圆锥，观察所得的截面.（该截面即为椭圆，让学生能够进行感知）

然后再引导学生通过分析得出教材中关于椭圆的定义，进而上升到理性认识.

如图，作圆锥的斜截面及两个内切球O1和O2，两球在截面的两侧和截面相切，其切点分别为F1和F2.在椭圆上任取一点P，圆锥的母线SP(S为圆锥顶点）与两球分别切于点T和R.显然TR是两球的公切线，其长为定值.于是有：

|PF1|+|PF2|=|PT|+|PR|=|TR|=|AB|=2a.（定值）

由此得出教材上的椭圆定义：“平面上到两定点的距离之和等于定长(该定长大于两定点本身的距离)的点的轨迹叫椭圆.”

得出这一本质定义后，自然就是一些相关问题（如让学生动手实践画图过程，探讨定长等于或小于两定点本身的距离时其点的轨迹等）和求椭圆标准方程的内容，在此不用赘述了.

通过上述分析，让学生对椭圆的认识从粗浅的感性认识上升到了深层次的理性认识，同时也让学生感受到，椭圆是在现实中被发现后，通过分析才得出其严谨的数学定义，学生对椭圆的概念不仅能“知其然”，而且能“知其所以然”.

笔者在对本节的教学实践中，所收到的教学效果与之前的收效相比，的确大不一样，这可以通过学生获取新知识时的那种兴奋和愉悦完全感知得到.

数学是在人类长期的生产实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念来得“不自然”，是“强加于人”的，那么只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用以及它与其他概念的联系，则会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，而且耐人寻味.

在高中数学课程的教学中应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲究逻辑推理，要给学生“讲道理”，而不能“凭空”得出.要使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法，追求数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.

【参考文献】

[1]全日制普通高级中学教科书《数学必修》（第二册上）.北京：人民教育出版社，2002.

[2]普通高中新课程标准实验教科书《数学》必修3.北京：人民教育出版社，2007.

[3]罗碎海.数学探究与欣赏.广州：暨南大学出版社，2010.