建立数学模型,解决生活问题

李猛

摘要： 建立数学模型对解决实际生活中的问题有着重要的意义，本文通过几个生活中的问题，进一步阐述了数学建模的重要性。

关键词： 数学模型数学建模生活问题

当一个数学结构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，我们就把这个数学结构称为数学模型。也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。

数学模型并非是新生事物，自从有了数学的那一天起，数学模型也就诞生了。在实际生活中，能够直接使用数学方法解决的问题并不多见。然而，应用数学知识解决实际生活问题的第一步就是通过实际生活问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。

中学生学习数学的目的在于如何使用所学的数学知识解决生产、生活中的实际问题。《新课程标准》也重点指出：通过有用的数学知识来解决实际生活中的应用题。因此，教师在中学数学课堂教学中，要培养中学生应用数学的意识，以及建立适当的数学模型分析、解决问题的能力。下面就我在中学数学课堂实践中的做法，与大家一同探讨。

一、利用二元一次方程组建模

例1：在2007年的暑假期间，小军和他的爸爸妈妈一块乘坐火车从A地到B地去旅游，在火车站的售票大厅看到了下表。妈妈对小军说：“你能算出火车行驶的里程数和票价之间的关系吗？”

请问：你能给出票价y与火车行驶里程x之间的关系式吗？如果A地到某地的距离为75km，票价应该定价为多少元？

解析：设票价y与火车行驶里程x之间的函数关系为y=kx+b，当x=115时，y=25；当x=90时，y=20，所以有

115k+b=2590k+b=20

解得

k=0.2b=2

因此票价y与火车行驶里程x之间的函数关系式为y=0.2x+2。当x=75时，y=17。也就是说，A地到该地的票价应该定价为17元。

本题通过利用二元一次方程组建立数学模型，解决了在实际生活中遇到的问题，并将该问题进行了深化。

二、利用分式建模

例2：从A地到B地有两条路，每条路都是3km，其中第一条路是平路，第二条路有1km的上坡路和2km的下坡路。小华在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么：

（1）当小华走第二条路时，他从A地到B地需要多长时间？

（2）从A地到B地他走哪条路花费的时间较少？少用多长时间？

解析：（1）走第二条路时，从A地到B地所需时间=走上坡路的时间+走下坡路的时间=+=。

（2）走第一条路时，从A地到B地所需时间为，-=，于是走第二条路花费的时间较少，少用h。

本题通过从实际生活问题中建立分式模型，既解决了生活问题，又培养了学生的建模能力。

三、利用不等式组建模

例3：2008年8月，北京奥运会帆船比赛在青岛帆船中心举行。观看帆船比赛的船票分为两种：Ａ种船票600元/张，B种船票120元/张。某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求Ａ种船票的数量不少于Ｂ种船票数量的一半。若设购买Ａ种船票ｘ张，请你解答以下问题。

（1）共有几种符合题意的购票方案？

（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？

解析：（1）设购买B种船票y张，于是根据题意可得

x+y=15x≥y600x+120y≤5000

解得5≤x＜。因为x为整数，所以x可取5、6。

即有两种购票方案：购买A种船票5张，B种船票10张；或购买A种船票6张，B种船票9张。

（2）5×600+10×120=4200，6×600+9×120=4680，所以购买A种船票6张，B种船票9张这种方案最省钱。

四、利用函数关系建模

例4：某市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度。享受医保的农民可以在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用。下表是医疗费用报销的标准：

（说明：住院医疗费用的报销分段计算。）

（1）设某农民一年中住院的实际医疗费用为x元（5000＜x≤20000），按标准报销的金额为y元，试求出y与x的关系式。

（2）若某农民一年内本人自付住院医疗费17000元（自付医疗费=实际医疗费-按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费用共多少元。

解析：（1）当5000＜x≤20000时，

y=5000×30%+（x-5000）×40%=0.4x-500

（2）由自付医疗费和报销标准可以判断，该农民当年实际医疗费应该在20000元以上。当x＞20000时，按标准报销的金额

y=5000×30%+（20000-5000）×40%+（x-20000）×50%=0.5x-2500

根据题意还有

x-y=17000

联解两式可得，x=29000。也就是说该农民当年实际医疗费用共29000元。

以上是我在教学中让学生完成的几道生活中的问题，这些问题都可以通过建立数学模型进行解决。教师要不断引导学生应用数学建模的思想去解决生活中的问题，让学生养成应用数学知识去解决问题的方法和习惯，从而提高学生解决数学问题的能力。

参考文献：

［1］韩中庚.数学建模方法及其应用［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［2］蔡锁章.数学建模原理与方法［M］.北京：海洋出版社，2000.