“直线分饼”问题的再思考

岳凯

本文介绍“直线分饼”问题，探讨该问题更深层次的意义。

一、提出问题

“一个圆饼，切1刀最多可将其分成2份；切2刀,最多可将其分成4份；切3刀,最多可将其分成7份。经过6次这样的切割，最多可将其分成多少份？”这个有趣的问题就是“直线分饼”问题。笔者在一本书上，看到给出的答案如下。

认真数一数，可知切6刀最多可将其分成22份。然而，随着所切刀数的增加，问题的情形变得越来越复杂，使我们难以逐刀去数，显然用作图的方法求解已不现实。怎么办？

二、探究规律

将该问题转化为数学问题就是：一个平面最多可被n条直线分成多少部分?认为0条直线可将平面分成1部分，易知1条、2条、3条、4条、5条直线最多可将一个平面分成2、4、7、11、16部分。

直线条数0 1 2 345…n

最多分割数1 2 4 7 1116 an

观察上面数据，可发现如下规律：1+1=2、2+2=4、3+4=7、4+7=11、5+11=16，故6+16=22. 即一个平面最多可被6条直线分成22部分。依此规律，不作图，易知用7条直线、8条直线……分割平面时的最多分割数。然而，因为每一个结果都要用到上一个结果，若用100条，甚至更多条直线分割平面时，利用该规律时不免过于烦琐。怎么办？

三、猜想公式

由上面数据可知： a1-a0=1、a2-a1=2、a3-a2=3…… an-an-1=n。等号两边分别相加可得：an-1=1+2+3+ ……n，an-1=，∴an=+1。该公式只是根据规律用不完全归纳法猜想出来的,到底对不对？

四、证明公式

一条直线把平面分成两部分；对平面中的两条直线而言，当它们交于一点时把平面分成四部分，而当它们平行或重合时则分别把平面分成三部分或两部分。所以，在研究ｎ条直线分割平面时，只有当它们处于最一般位置时，才能取得最大的分割数。这里的最一般位置是指任何两条直线都不平行（包含重合），而且任何三条直线都不会交于一点。

假设平面已经被n-1条处于最一般位置的直线分割成an-1部分，接着又添加第ｎ条直线仍处于最一般位置，此时新增加了n-1个交点。而且这条新添加的直线恰好穿过原来的 部分中的ｎ个，并把它们的每一个都一分为二。所以，这第ｎ条直线的添加使得原来部分平面的份数增加了ｎ个。这样，就得到一个递推公式：an=an-1+n，依次令n=1、2、3、…n，把所得的ｎ个式子相加即为：an=1+(1+2+3+…+n)=1+，故可以得出结论：一个平面最多可被n条直线分割成1+部分。

五、编写程序

在解决该问题的过程中蕴涵着算法的思想，故可编写成basic程序语言，如下：INPUT n / i=0 / a=1 / WHILE i

六、“刀切西瓜”问题

直线分饼问题即线分面问题，由此联想到面分体问题，即刀切西瓜问题。“用刀切西瓜，1刀可以切2块，2刀4块，3刀8块，4刀15块，5刀最多可切多少块？ｎ刀呢？”

解决该问题，可类比直线分饼问题。设在空间中，n个平面最多可以划分出bn个空间区域．ｎ是自然数，其中b0=1,b1=2,b2=4,b3=8,b4=15,bn-bn-1=+1.

在空间上的n-1个平面基础上再增加一个平面，那么这一个平面会和其他的n-1个平面相交。在每一个平面上有n-1条直线。增加的空间区域数就等于该平面上的n-1条交线划分出来的平面区域数。故bn=+1 ．

（平顶山市理工学校）