线性代数中逆矩阵的引入方法

张宁 郭淑妹 郭杰

摘 要:矩阵理论是线性代数中的一个非常重要的内容,本文主要针对非数学专业线性代数教学中逆矩阵的定义引入方法进行了探讨,采用启发式教学,让学生自主探索并发现逆矩阵的定义,有利于学生对概念的准确掌握。

关键词:矩阵逆矩阵倒数

中图分类号:O151 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2012)06(b)-0218-01

“线性代数”课程是高等院校工科学生数学教育中的一门重要的公共基础课,其不仅向学生传授了为学习大多数后续专业课程所必要的知识基础,而且在大学生素质教育中的重要性也日益显示,因此各高等院校都把教好和学好线性代数课程作为一项重要教学工作。

继高等数学之后,线性代数是与工程应用的结合较密切工程数学中的一个内容,随着经济建设的发展和社会需求的增加,对线性代数知识的需求也日益增加,目前已成为一门独立的数学基础课程,线性代数的知识已成为在现代科学的各学科研究发展中最活跃的和被广泛应用的基础数学知识。线性空间、线性变换、矩阵理论等内容已渗透到许多学科和领域。矩阵是线性代数中的一个主要研究对象,矩阵方法是处理许多问题的重要工具,而逆矩阵又是矩阵理论中的一个非常重要的概念,学生必须要熟练掌握逆矩阵的定义和求逆方法。

线性代数这门课内容抽象,逻辑性较强,而且缺乏直观性,学生容易感觉枯燥,缺乏学习积极性,因此要求教师针对不同内容采用适当的教学方法和手段,充分调动学生学习的兴趣和主动性。俗话说万事开头难,讲课也是一样,一节别开生面的课的引入能否吸引学生是学生学好这节课的关键。本文针对逆矩阵定义的两种引入进行了比较探讨。

1 利用线性变换引入定义

首先给出一个线性变换

,

其中,,。

以的伴随矩阵左乘上式,并利用,可得

,

当时,得到线性变换的逆变换,令,则,因此有:

,故;

,故,

所以,由此引入逆矩阵的概念。

逆矩阵定义:对于阶矩阵,如果存在矩阵,使得,则说是可逆的,并称矩阵是的逆矩阵。

这里需要说明两点:

1)可逆矩阵必是方阵;

2)行列式不等于零是矩阵可逆的充分条件(可证明此条件也是必要的,是矩阵可逆的一个判定方法)。

这种引入方法是比较传统的,具有精确的理论依据和严密的推理过程,并且在引入逆矩阵定义的同时,还给出了求一个可逆矩阵逆矩阵的方法——伴随矩阵法,但是这种引入方式比较抽象,缺乏直观性,学生容易感觉枯燥,失去学习兴趣,达不到好的教学效果。

2 利用倒数定义类比引入定义

矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算。矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节课要讨论的问题。

在数的运算中,除以一个非零数等于乘以这个数的倒数,我们先给出倒数的定义。

倒数定义:对于一个非零数,如果存在数,使得,则称数是数的倒数,记为。如果,。

教师提问:在矩阵中,与数具有倒数的性质相仿的矩阵是否存在？类似地,对于矩阵乘法,若,是否也有类似的结果？如果有,成立的条件如何？

事实上,矩阵的运算与数的运算类似,在矩阵中也有类似倒数的概念,接下来我们先类比给出逆矩阵的定义:

类比定义:对于满足某条件(问题1)的矩阵,如果存在矩阵,使得(问题2),则称为的逆矩阵。

在类比定义中存在两个问题需要解决,教师提问:

问题1:在数中,当数非零时,存在倒数,那么矩阵中,存在逆矩阵的矩阵要满足什么样的条件？

问题2:在数中,互为倒数的两个数满足,可交换相乘且乘积等于1,那么在矩阵中,等式中的矩阵？

我们先来回答问题1,由满足等式,矩阵可交换相乘,学生可以发现,只有在、为同阶方阵时,等式才成立,可以交换相乘,因此只有当矩阵A为方阵时才有逆矩阵,且其逆矩阵与是同阶方阵,到此就解决了问题1。

我们在来讨论问题2,由于在数中互为倒数的两个数乘积等于1——数中的单位元,类比到矩阵中,学生能够想到应该等于单位矩阵——矩阵中的单位元,于是解决了问题2。到此逆矩阵的定义就完整了:

逆矩阵定义:对于阶矩阵,如果存在矩阵,使得,则说是可逆的,并称矩阵是的逆矩阵,记为。

如果,且是可逆的,则有如下结论:

等式两边同时左乘,,即。(注意矩阵乘法一般不满足交换律,)

这种引入方法利用学生熟知的倒数定义类比得出逆矩阵定义,通过设“问题链”引导学生去主动思考问题,自己探索并发现逆矩阵的定义条件,由浅入深,由已知到未知,在探索过程中加深了对定义的理解记忆,有助于牢固掌握基础概念,并且能使学生感受到探求未知的乐趣和成就感,增强学习兴趣。

3 结语

线性代数具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性,通过对它的学习,可以培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数值计算能力和空间想象能力。因此要求教师对线性代数课程的教学方法进行研究,摆脱以“满堂灌”为主的传统教学模式的束缚,采用多样的教学手段,加强教师主导学生积极参与的师生互动,使学生在生动活泼的课堂气氛中吸收并消化知识,达到事半功倍的教学效果。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系．线性代数(第四版)[M]．北京:高等教育出版社,2003．

[2] 北京大学数学系．高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003．

[3] 陈维新．线性代数教学谈[J].高等教育研究,2010,13(4):117～118．