建立对应点在图像变换中的应用

郑竹

摘 要:本文以建立函数图像水平方向变换前后的对应点间的关系,来确定函数在水平方向变换后的函数表达式。用这种方法可十分有效地解水平方向变换的题目,要比一般书上介绍的方法简单,容易掌握,在解题中不易出错。

关键词:函数对应点变换

中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2012)06(b)-0256-01

在高中数学中,图像变换问题以图像水平方向变换居多。解这一类问题,一般是根据图像变换前后的函数表达式来解决,但学生在处理这一问题时,常常会对函数表达式的含义理解不到位而出错。如把函数的图像向右平移个单位,得到的函数是,绝不是。但多数学生则认为得出的函数是,这是对函数表达式的含义理解不清造成的。一般书上,在解这类问题时,多指出函数图像的平移要注意用什么代替了什么,要注意图像的平移规律:左加右减,上加下减。这时得到的图像,需用代替中的,即得。但学生用这种方法解这类题时,还是容易出错,其原因是学生对这种方法理解不透。图像在水平方向上的变换的最大特点是纵坐标不变,如果抓住了这一规律,也就掌握了解决这一类题目的方法。

设函数在水平方向上平移后得到函数,令,使函数上一点经水平方向上变换后对应的点是。在水平方向平移变换中,根据点与间的位置关系,或点与间的横坐标与间的关系就可确定函数是经过怎样在水平方向上平移得到函数的。当时,函数向右平移个单位得到函数;当时,函数向左平移个单位得到函数。在实际使用中,可取一特殊点,即取。

函数上点的横坐标扩大A倍(纵坐标不变)得到对应的点为,对应的函数是;函数上点的横坐标缩小A倍(纵坐标不变)得到对应的点为,对应的函数是。

建立图像在水平方向上变换的前后图像上对应点的位置关系来解决变换问题,学生容易理解和掌握,操作简单而易行,并且还不会出错。

例1:(《高中数学培优——解题错点诊断与方法引导》第22页例4)要得到函数的图像,只要将函数的图像( )

A、向左平移个单位;B、向左平移个单位;

C、向右平移個单位;D、向右平移个单位。

解:令函数中的,得;再令函数中的,得。考察点与,知点在右边个单位,即点的横坐标在点的横坐标的右边个单位,可得出函数是由函数的图像向右平移个单位得到。故选D。

例2:《高中数培优——解题错点诊断与方法引导》第6页例8)函数是偶函数,则函数的对称轴是( )

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、

解:令中的,得,令中的,得,知横坐标在横坐标左边1个单位。所以函数是函数的图像沿水平方向向左平移1个单位而得到。偶函数的对称轴是y轴,即,把y轴向左平移1个单位得。故选Ａ。

例3:(安徽高考)将函数的图像按向量平移后所得的图像关于点中心对称,则向量的坐标可能为( )

A、B、C、D、

解:设,令函数中,得,函数的图像按向量平移后可得对应点,即。由此得出得函数的图像按向量平移后的函数是。令,,因的图像关于点中心对称,有,得,当时,。故应选C。

例4:将函数的图像向右平移个单位,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍,所得解析式为( )

A、 B、

C、 D、

解:令函数中,得。把函数的图像向右平移个单位,则对应的横坐标为,即,得图像平移后函数为,再把平移后所得的纵坐标扩大到原来的2倍所得函数为,故选C。

从上述的解题过程来看,用图像水平方向变换前后的对应点的思路来解题,操作简单,易于掌握。