基于庞得里亚金极大值原理的我国城乡固定资产投资最优分配比例

陈妙莉

[摘要]改革开放以来我国城镇和农村固定资产投资额的差距呈现逐年递增的趋势。本文利用经济控制论的方法，从城镇和农村地区固定资本投资差异的角度入手，建立宏观经济总量模型，利用庞得里亚金极大值原理求解最优解，并利用参数估计的结果计算了我国经济协调发展时城镇和农村固定资产投资的最优分配比例。

[关键词]城乡协调发展极大值原理最优比例

一、引言

改革开放以来，我国农村地区发生了翻天覆地的变化，农民生活水平也得到了显著的提高。但由于历史因素、国家政策偏向等因素的影响，城乡差距却在不断拉大。城乡差距并没有伴随着中国经济总体的快速发展而缩小，反而出现持续扩大的趋势。其中，城镇和农村固定资产投资额之间的差距是很大的，且呈现逐年增大的趋势。1991年以前，城镇固定资产投资额是农村固定资产投资额2.6-2.9倍左右，2008年以来这一数据上升到6倍多，2011年更是高达6.9倍。

本文利用经济控制论的方法，从城镇和农村地区固定资本投资差异的角度入手，建立宏观经济总量模型，利用庞得里亚金极大值原理求解最优解，并利用参数估计的结果计算了我国经济协调发展时城镇和农村固定资产投资的最优分配比例。

二、文献回顾

控制论较为广泛的运用是基于庞得里亚金极大值原理的最优设计问题，既有宏观经济总量的最优政策设计，也有微观的如企业生产、投资等方面的最优化问题。如李煌雁（2011）基于柯布-道格拉斯生产函数和效用函数求解了宏观经济最优税收政策；周朝民，李寿德等（2010）则以厂商价值最大化为目标函数分析了厂商污染治理投资的最优控制策略，结果表明，厂商污染治理投资和生产投资的最优比例是1:1；路荣武，付政庆（2006）建立环境经济最优控制模型分析了二氧化硫的最优排放量问题。

对于最优控制问题不止庞得里亚金极大值原理这一方法。赵果庆（2007）利用经济计量模型和模型仿真的方法分析了我国“十一五”GDP能源单耗目标最优控制；成定平，刘光中（1997）利用极小值原理和广义经济控制论的知识分析了货币供给动态模型和货币供应量的最优控制问题。

三、基于庞得里亚金极大值原理的经济模型求解

1.经济模型的建立

为简化起见，构造一个封闭的离散时间的宏观经济动态系统模型：

生产函数：Y=F(K1，K2，L)

其中，Y为国民生产总值，即GDP；

K1为城镇资本存量；K2为农村资本存量；

L为劳动人口数。

为便于推导，本文的生产函数采用柯布-道格拉斯生产函数（即CD型生产函数）来近似描述：

Y=AK1αK1βL1-α-β

这里假设宏观经济协调发展时生产规模报酬不变。

在封闭经济条件下，产出的一部分用于消费，一部分用于投资积累，投资率记为，本文假设投资积累率是给定的。总投资按区域分为城镇固定资产投资和农村固定资本投资，分别记为I1和I2，于是有：

总投资I(t)=ρY(t)=I1(t)+I2(t)

总投资一部分分配给城镇，另一部分部分分配给农村。其中城镇固定资产投资的比例为σ，即：

I1=σI(t)=σ×ρ×Y(t)

I2=(1-σ)I(t)=(1-σ)×ρ×Y(t)

其中，σ为比例系数，为本文经济模型的外生政策变量，也是本文所求变量。

城镇固定资本存量K1(t)的变化遵循下式：

K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

其中，δ为固定资本折旧率。上式表示：第t+1年的固定资本存量等于第t年的固定资本存量减去固定资本折旧，再加上第t年新增固定资本投资额。

同理：K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

这里，假定城镇和农村的固定资本折旧率是一样的。

利用经济控制论讨论宏观经济问题的首要步骤是构造系统的目标。本文设定的宏观经济系统的目标是：人均国民生产总值的累积量达到最大。

综上，构造如下的经济系统数学模型：

K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

I1(t)+I2(t)=ρY(t)

I1=σI(t)=σ×ρ×Y(t)

I2=(1-σ)I(t)=(1-σ)×ρ×Y(t)

y(t)=Y(t)/L(t)

其中，资本存量K1(t)、K2(t)为系统状态变量；σ为外生政策变量，即系统控制输入变量，为本文待求变量。

其中，各参数的取值范围为：0＜α＜1，0＜β＜1，0＜δ＜1，0＜ρ＜1，0＜σ＜1。

该经济模型的几个假设：

（1）生产函数为规模报酬不变型。

（2）城镇和农村的固定资本折旧率一样。

（3）投资累积率给定。

2.利用庞得里亚金极大值原理求解最优比例

首先对上述模型构造哈密尔顿函数，得：

根据离散时间动态系统庞得里亚金极大值原理，模型必须满足如下条件：

(1)控制输入应满足：

(2）拉格朗日算子应满足：

(3）系统满足状态方程：K1(t+1)=K1(t)-δK1(t)+I1(t)

具体推导过程如下： K2(t+1)=K2(t)-δK2(t)+I2(t)

将状态方程及相关计算公式带入H函数中，得：

上式表明，宏观经济协调发展时，城镇固定资产的边际产出等于农村固定资产的边际产出。这与经济协调发展时各部门要素投入边际产出相等的理论一致。

将生产函数Y=AK1αK1βL1-α-β带入上式对求导可得。

由此可知，只要估计出生产函数中城镇和农村资本的生产弹性系数，就可得到所建立的经济模型的最优解，即分配给城镇的固定资产投资的最优比例。

四、数据处理及模型估计

1.数据处理。本文参数估计模型的数据均来自中经网统计数据库，基于数据的可得性，采用1981年～2011年的年度数据。根据生产函数的形式，本文选取产出水平Y、城镇资本存量K1、农村资本存量K2、劳动投入L四个变量进行参数估计。各变量对应的数据指标选取如下：

(1)产出水平Y。采用全国国内生产总值GDP作为衡量产出水平的指标。为反映真实的产生水平，各年的GDP均剔除了价格因素的影响：即各年现价GDP除以以1978年为基期的定基居民消费价格指数，得到各年真实GDP。

(2)资本存量K1、K2。统计数据库中通常只给出各年的固定资产投资额或资本形成总额。而经济模型中生产函数里的K是一个存量的概念，以每年固定资产投资额或资本形成总额这一流量指标作为K的衡量指标显然是违背理论的。因此，本文基于永续盘存法，参考资本存量估算的相关文献粗劣估算了我国城镇和农村的资本存量水平，以此作为K1、K2的衡量指标。

永续盘存法的基本公式：Kt=It+(1-δt)Kt-1

其中，Kt为t年资本存量，It为t年的投资，δt为折旧率，Kt-1为t-1年资本存量。

①在资本存量的估算中，It的选取主要有全社会固定资产投资总额、资本形成总额或固定资本形成总额几种。本文采用固定资产投资总额。采用永续盘存法时，以当年价格计算的投资必须用一定的价格指数进行平减。为简化起见，本文采用居民消费价格指数进行平减，得到实际的城镇固定资产投资总额和农村固定资产投资总额。②折旧率δt的估计由于折旧率在不同年份和不同行业中是不一致的，为了简化，本文采用孙辉等（2010）选取的6%的折旧率。③基年资本存量K0的估计。资本存量初始值的估计方法主要有资本产出比和折旧-贴现法，也有笔者为简化起见用初始年份固定资本形成总额除以10%直接得到初始资本存量水平。本文参考资本产出比为3、以1981年为基期估算初始资本存量。

（3）劳动投入L。为配合其他变量在平稳性方面的要求，本文选取年末经济活动人口作为L的替代变量。由于2011年的数据缺失，本文用2010年的同比增长率进行估计得到2011年的经济活动人口数。

2.模型估计及结果分析

将生产函数两边同时取对数得变量之间的线性关系：

利用Eviews6.0进行OLS估计，得到：α=0.5445，β=0.2034。由此可得城镇获得的固定资产投资额的最优比例：σ=0.7280。相应可得到城镇和农村的固定资产投资的最优比例：I1:I2=2.61:1。

五、小结

本文通过建立简化的宏观经济总量模型，利用庞得里亚金极大值原理求解了城镇与农村固定资产投资的最优比例，并基于经济计量模型估计的参数计算了这一最优比例。而实际数据则显示我国城镇和农村的固定资产投资差距日益扩大。当前，我国总体经济水平呈平稳增长趋势，但经济快速发展的同时城乡收入差距也日益扩大。利用经济计量工具对城乡固定资产投资与城乡收入差距的相互关系进行分析是本文今后进一步研究的方向。

参考文献：

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