钟表中的数学问题

王洪成

“数学来源于生活，又运用于生活”，当师生们有节奏地度过校园生活的每一天时，是否留意过钟表里的有关数学问题？时间周而复始，时针与分针一圈又一圈不停地旋转，那么它图 1们什么时候重合、成一直线呢？下面就探讨一下这一问题：

图 2钟表表盘上共有12个大格，60个小格（如图1）.分针走1小格

为1分钟，时针走1大格为1小时（即60分钟）.由于时针、分针走1周

均为360度，故1小格为6度，1大格为30度，由此得出分针每分钟走6度，时针每分钟走30°÷60=1[]2°.

一、时针、分针几点几分重合

因为0点时，分针与时针重合，都指向12（如图2），以后分针、

时针再重合，可以把它看成是同时、同地、同方向出发，不同速度的追击问题，即二者下次再重合，分针走过的路程则比时针多1周（即360度）.由此可设x分钟后，时针、分针第一次重合，据题意列方程为：6x-1[]2x=360×1，解得：x=720[]11=655[]11，由于x>60分，即第一次重合时为1点55[]11分钟.时针、分针第二次重合，据题意列方程为：6x-1[]2x=360×2，解得：x=1440[]11=13010[]11，由于x>120分，即第二次重合时为2点1010[]11分钟

……时针、分针第十一次重合，据题意列方程为：6x-1[]2x=360×11，解得：x=720，由于x=720分=12小时，即第十一次重合时为12点整.

由以上得出：

（1）从1点到12点分针与时针共重合了11次.

（2）几点几分分针与时针重合，可由方程6x-1[]2x=360×n（0≤n<12的整数）解出.

二、时针、分针几点几分成一直线

这里分为两种情况：一是时针、分针重合时成一直线（上面已研究）；二是时针、分针夹角为180度时成一直线.

下面来研究第二种情况，对此问题仍从0点开始研究，时针、分针夹角为180度，即分针比时针多走了180度，由此得方程6x-1[]2x=180，解得：x=180[]11=328[]11，即0点328[]11分时第一次成一直线.第二次再成一直线时，分针比时针又多走了360度（即1小时），列方程为6x-1[]2x=180+360×1，解得：x=60+382[]11，即1点382[]11分时成一直线……第十一次成一直线，列方程为6x-1[]2x=180+360×（11-1），解得：x=660+273[]11，即11点273[]11分时成一直线，第十一次与第一次一样.由以上可得出时针与分针几点几分成一直线时可用6x-1[]2x=360n或180+360n（0≤n<12的整数）.

三、时针、分针几点几分时夹角为α（0°<α<180°）

这里仍可分为两种情况：

1.当时针与0点之间的最小夹角大于或等于α时，可用方程6x-1[]2x+30n=±α来解（n为几点）.

例1 3点几分时，时针与分针夹角为90度？

分析 由于3点与0点之间的最小夹角为90度，故可运用上面方程来解.

解 设3点x分时，时针与分针夹角为90度，列方程6x-1[]2x+30×3=±90，解得：x1=0，x2=328[]11.即当3点整和3点328[]11分时，时针与分针夹角为90度.

例2 6点几分时，时针与分针夹角为160度？

分析 6点与0点之间的夹角为180度，所以仍可运用上面方程来解.

解 设6点x分时，时针与分针夹角为160度，列方程6x-1[]2x+30×6=±160，解得：x1=37[]11，x2=60+28[]11，∵x2>60分，已不存在是6点，故舍去，

只取x1，即当6点37[]11分时，时针与分针夹角为160度.

2.当时针与0点之间的夹角小于α时，分为两种情况（如例3、例4）.

图 3

例3 1点几分时，时针与分针夹角为60度？（如图3）

解 设x分钟时，夹角为60度，当∠AOB=60°时，

6x-1[]2x+30×1=60，解得：x1=164[]11；

当∠AOC=60°时，∠AOC=∠AOD+∠COD.∵∠AOD=1[]2x+30×1，∠COD=360-6x，

∴1[]2x+30+360-6x=60，解得：x2=60，由于60分钟后为2点整，故应舍去，所以当1点164[]11分时，时针与分针夹角为60度.

针对钟表中时针与分针重合及成一直线这类数学问题，看似复杂，其实也很简单，只要画出图形，分清情况，认真分析，问题就会迎刃而解.