从函数的角度来研究数列的一点思考

刘书霞

【摘要】数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时我们可以利用函数的图像和性质辅助于我们来解决数列的一些比较麻烦的问题，来开阔学生的思路.

【关键词】函数；数列；数列通项公式；函数图像

数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集或其子集的一类函数，所以我们研究数列时可以从式上利用函数的思想对数列加以研究，这样更利于我们的教学，更利于学生去理解和掌握.近几年的高考中对数列的最值问题考查得比较多，而这一问题也是学生学习的难点，那么我们教师如何帮助学生突破这些难点呢？

下面我们通过几个例子帮助学生从函数角度理解数列问题.

例1 已知数列{a璶}满足a璶=n-2011[]n-2012，（n∈N*），求数列{a璶}中最大项.

分析 拿到题目很多学生会觉得很茫然，题目中含有n-2011[]n-2012这样复杂的分式，无从下手.这时我们试着引导学生从函数的角度去研究该题，会使整个思路打开.

解析 a璶=n-2011[]n-2012=1+2012-2011[]n-2012.

此时我们可以研究函数f（x）=x-2011[]x-2012，（x>0）的最值问题.

而函数f（x）=x-2011[]x-2012是以（2012，1）为中心的反比例函数，我们可以通过它的图像从形的角度去解决该题.通过图像我很自然地发现当x从大于2012的方向逼近直线x=2012时，f（x）值趋向正无穷大，而a璶=n-2011[]n-2012所对应的图像是函数f（x）=x-2011[]x-2012图像中横坐标为正整数的一些离散的点.n=45时，a璶取得最大值a45=45-2011[]45-2012.

总结 从这一题我们可以发现当碰到类似的问题时，我们只要抓住{a璶}的通项是关于n的函数的特点，可以其图像辅助解决.

题目 设n∈N*，n≥2，求无穷数列2，3[]3，4[]4，…，n[]n，…的最大项.（源自《数学与测试》苏州大学出版社）

例2 等差数列{a璶}满足a璸=q，a璹=p求a璸+q.

分析 很多同学拿到这个题目心中立马就有方法了.我找了两名比较有代表性的同学解答.

甲同学：因为a璸=q，a璹=p，得到a1+（p-1）d=q，

a1+（q-1）d=p，

解得a1=p+q-1，

d=-1.

故得a璸+q=a1+（p+q-1）d=0.

乙同学：a1=a璸-a璹[]p-q=-1，所以a璸+q=a璸+qd=0.

这两名同学就是通过求等差数列的基本量a1，d的方法来解决该题目的.但是如果我们深层次地挖掘一下，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，前n项和公式是关于n的常数项为0的二次函数.这时我们知道一次函数的图像是一条直线，那么等差数列的通项是分布在这一次函数图像上的一些离散的点.

解析 因为{a璶}是等差数列，那么（n，a璶）（n∈N*）是共线点，即（p，q），（q，p），（p+q，a璸+q）三点是共线的，

然后就可以利用斜率相等来求.

q-p[]p-q=a璸+q-p[]p+q-q，解得a璸+q=0.

题目 等差数列{a璶}满足s璵=n，s璶=m，求s璵+n=？

分析 因为前n项和公式s璶是关于n的常数项为0的二次函数，所以s璶=An2+Bn，即有s璶[]n=An+B，此时我们把这列问题又化归到了刚才的那个问题了，利用n，m[]n，m，n[]m，m+n，s璵+n[]m+n三点共线来解决了.

总结 这研究等差数列问题的两小题，我们是从{a璶}的通项a璶和前n项和s璶都是关于n的函数，从函数的图像出发，利用点共线来解决的.

函数和数列之间的联系紧密，我们在教学数列这一块时，不妨不断地引导学生利用函数思想去解决数列问题，让学生去总结类似的思想方法，让学生学习数学不再那么痛苦，学得轻松愉快.