一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则

谢国芳

【摘要】本文推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则.

【关键词】三次方程；求根公式；判别法；判别式

一、一般三次方程的简化

对于一般形式的三次方程ax3+bx2+cx+d=0 （a≠0）， 两边同除以a，即可化为首项系数为1的三次方程

x3+bax2+cax+da=0.

作变量代换

x=y-b3a.（1）

可消去二次项，得

y3+py+q=0.（2）

其中p=-b2-3ac3a2，q=-9abc-2b3-27a2d27a3.（3）

下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程，并约定其一次项系数p≠0.

二、简约三次方程的三角函数解法和求根公式

在方程（2）中作变量代换琜1琞

y=2-p3cosz.（4）

利用三倍角公式 cos3z=4cos3z-3cosz， 方程（2）变为

cos3z=-q/2（-p/3）3.（5）

定义参数χ=-q/2（-p/3）3.（6）

称之为三次方程y3+py+q=0的关键比（key ratio），式（5）即

cos3z=χ.（7）

利用欧拉公式 cosz=e琲z+e-iz2.（8）

可将方程（7）化为一个以e3iz为元的二次方程 （e3iz）2-2χ（e3iz）+1=0， 解得e3iz=χ±χ2-1.

定义参数 W=χ+χ2-1， 由上式可得 e琲z = 3W 或 13W， 再由式（8），（4）即得方程y3+py+q=0的根为

y=-p33W+13W.（9）

其中 W=χ+χ2-1， χ=-q/2（-p/3）3. （10）

复立方根3W的三个值正好对应于方程的三个根.

三、简约三次方程的另一个求根公式

定义参数 λ = -q/2（p/3）3， 亦称之为三次方程y3+py+q=0的关键比，对比χ的定义式（6），若规定平方根的取值满足（参见注1和附录1）-p/3=ip/3， 则χ=iλ， 于是

W=χ+χ2-1=iλ+（iλ）2-1=iλ+-（λ2+1）=i（λ+λ2+1）.

定义参数Z=λ+λ2+1， 则W=iZ， 故 3W=eπi/6·3Z（参见附录1）， 代入式（9）可得

y=p3e2πi/3·3Z -1 e2πi/3·3Z.

因为e2πi/3乘以立方根3Z的三个值后仍得到3Z的三个值，所以上式即

y=p33Z-13Z.（12）

其中

Z=λ+λ2+1， λ=-q/2（p/3）3.（13）

四、一般三次方程的两个求根公式

为了把求根公式（9）和（12）推广到一般三次方程ax3+bx2+cx+d=0，只需把相应的简约三次方程y3+py+q=0的关键比χ和λ直接用系数a，b，c，d表出即可. 将由式（3）给出的p，q值代入χ和λ的定义式可得琜2琞

χ = -q/2（-p/3）3 = 9abc-2b3-27a2d27a32b2-3ac9a23=9abc-2b3-27a2d2（b2-3ac）3，

λ = -q/2（p/3）3= 9abc-2b3-27a2d2（-（b2-3ac））3.

定义D=b2-3ac， 则

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3，λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3.

我们可以把它们称为三次方程ax3+bx2+cx+d=0的关键比. 根据求根公式（9）和（12），并注意到p=-D3a2和x=y-b3a（参见式（1），（3）），我们就得到了下面的结果.

定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）对于三次方程ax3+bx2+cx+d=0， 定义参数

D=b2-3ac， χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3，

W=χ+χ2-1.（14）

则当D≠0时它的根为琜3琞

x=-b+D（3W+13W）3a.（15）

设W=|W|e琲β，|W|为复数W的模，β=argW为其幅角主值（-π<β≤π），则3W的三个值为

3|W|e琲β/3， 3|W|e琲（β+2π）/3， 3|W|e琲（β-2π）/3.

代入式（15），并定义实参数ρ=3|W|， 可得方程的三个根：

x1=-b+Dρ+1ρcosβ3+iρ-1ρsinβ33a，x2=-b+Dρ+1ρcosβ3+2π3+iρ-1ρsinβ3+2π33a，x3=-b+Dρ+1ρcosβ3-2π3+iρ-1ρsinβ3-2π33a.（16）

其中ρ=3|W|， β=argW， W=χ+χ2-1.

定理2（一般三次方程的求根公式Ⅱ）对于三次方程ax3+bx2+cx+d=0， 定义参数

D=b2-3ac， λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3，Z=λ+λ2+1.（17）

则当D≠0时它的根为x=-b+-D3Z-13Z3a.（18）

设Z=Ze琲α，Z为复数Z的模，α=argZ为其幅角主值（-π<α≤π），则3Z的三个值为

3|Z|e琲α/3， 3|Z|e琲（α+2π）/3， 3|Z|e琲（α-2π）/3.

代入式（18），并定义实参数σ=3|Z|，可得方程的三个根：

x1=-b+-Dσ-1σcosα3+iσ+1σsinα33a，x2=-b+-Dσ-1σcosα3+2π3+iσ+1σsinα3+2π33a，x3=-b+-Dσ-1σcosα3-2π3+iσ+1σsinα3-2π33a.（19）

其中σ=3|Z|， α=argZ， Z=λ+λ2+1.

注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是等价的，在实际应用中，我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解（可视方便而定），除了根的编号可能不同之外，得到的结果是完全相同的.

例1 解复系数三次方程 x3+ix2+x-i=0.

解（用求根公式Ⅰ）D=b2-3ac=（i）2-3×1×1=-4，

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3=9i-2i3-27×（-i）2（-4）3=-198，

W=χ+χ2-1=-198+-1982-1=-19-3338，

β=argW=π， ρ=3|W|=319-3338≈0.604401892838194，

代入式（16），即得方程的三个根：

x1=-i+-4ρ+1ρcosπ3+iρ-1ρsinπ33 ≈0.606290729207199+0.419643377607081i，

x2≈-1.839286755214161i，x3≈-0.606290729207199+0.419643377607081i.

也可以用求根公式Ⅱ求解本题，所得结果的差别只是后两个根的编号不同.

五、一般实系数三次方程的求解和根的判别法则（D-χ判别法）

对于实系数三次方程ax3+bx2+cx+d=0，我们可以根据参数D=b2-3ac的值，选择使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中较方便的一个求解，进而判定根的情况.

1.D<0的情形

当D=b2-3ac<0时，显然用求根公式Ⅱ求解比较方便，因为这时关键比λ为实数（参见式（17）），Z=λ+λ2+1亦为实数，设其实立方根为K，则3Z的三个值为K， e2πi/3K， e-2πi/3K，代入式（18）即得方程的三个根：

x1=-b+-DK-1K3a，x2，3=-b+-DK-1Kcos2π33a±i-DK+1Ksin2π33a.（20）

其中K=3λ+λ2+1， λ=9abc-2b3-27a2d2（-D）3，（λ∈R， K∈R）.

显然x1为实根，x2， x3为共轭虚根.

2.D>0的情形

当D=b2-3ac>0时，显然用求根公式Ⅰ求解比较方便，因为这时关键比χ为实数（参见式（14）），参数W=χ+χ2-1的取值视χ而定.

（1）若χ≥1，则W=χ+χ2-1亦为实数，设其实立方根为κ，则3W的三个值为κ， e2πi/3κ， e-2πi/3κ，代入式（15）即得方程的三个根：

x1=-b+D（κ+1κ）3a，x2，3=-b+D（κ+1κ）cos2π33a±iD（κ-1κ）sin2π33a.（21）

其中κ=3χ+χ2-1，（χ∈R， χ≥1， κ∈R）.

易见x1为实根. 当χ>1时，x2，x3为共轭虚根. 当χ=1，即χ=±1时，κ=±1，x2，x3为两个相等的实根.

（2）若χ<1，设χ=cosθ，（0<θ<π），即θ=cos-1χ，于是

W=χ+χ2-1=cosθ+cos2θ-1=cosθ+isinθ=e琲θ，

3W的三个值为e琲θ/3， e琲（θ+2π）/3， e琲（θ-2π）/3，代入式（15）即得方程的三个根：

x1=-b+D·2cosθ33a，x2=-b+D·2cosθ3+2π33a，x3=-b+D·2cosθ3-2π33a.（22）

其中θ=cos-1χ，（χ∈R， χ<1）. 显然x1，x2，x3全都是实根，由0<θ<π可知

0<θ3<π3，2π3<θ3+2π3<π，-2π3<θ3-2π3<-π3.

因此

12

当a>0时即可判定各根的范围如下：

-b+D3a

显然x1>x3>x2.当a<0时，上面三个不等式中的不等号反向，即x1

3.D=0的情形

当D=b2-3ac=0 时，方程ax3+bx2+cx+d=0可以配成完全立方求解，两边同除以a，再利用c=b23a可将它改写为 x+b3a3=b3a3-da. 解得

x1=-b+3b3-27a2d3a，x2=-b+3b3-27a2d·ω3a，x3=-b+3b3-27a2d·ω23a.（23）

其中ω为三次单位根（ω=-12+32i，ω2=ω=-12-32i）. 易见当b3≠27a2d时，x1为实根. x2，x3为共轭虚根.当b3=27a2d时，x1=x2=x3=-b3a，即方程有一个三重实根-b3a.

4.一般实系数三次方程的根的判别法则（D-χ判别法）

综上所述，我们就得到了如下的判别一般实系数三次方程的根的法则，我们可以把它称为D-χ判别法，参数D=b2-3ac（注意它和二次方程判别式的相似性）可称为第一判别式（first discriminant），它和关键比χ = 9abc-2b3-27a2d2（D）3合在一起就能简单快捷地判定实系数三次方程ax3+bx2+cx+d=0的根的情况，并决定相应的最便捷的求根公式：

（1）当D=b2-3ac<0时琜4琞，方程有一个实根和两个共轭虚根.

可用求根公式（20）求解.

（2）当D=b2-3ac>0，χ>1时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.

可用求根公式（21）求解.

（3）当D=b2-3ac>0，χ=1时，方程有一个两重实根和一个单重实根.

仍可用求根公式（21）求解，也可以用三角求根公式（22）求解.

（4） 当D=b2-3ac>0，χ<1时，方程有三个互异的实根.

可用三角求根公式（22）求解.

（5） 当D=b2-3ac=0，b3≠27a2d时琜5琞，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.

可配成完全立方或用式（23）求解.

（6） 当D=b2-3ac=0，b3=27a2d时琜6琞，方程有一个三重实根-b3a.

例2 判别方程27x3-2x2+8x-4=0根的情况并求解.

解 D=b2-3ac=（-2）2-3×27×8=-644， 由D<0 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（20）求解.

λ= 9abc-2b3-27a2d2（-D）3 = 9×27×（-2）×8-2×（-2）3-27×272×（-4）2·（644）3ぁ2.290292896392045，

K=3λ+λ2+1 ≈1.685620470846232，

x1=-b+-DK-1K3a=2+644K-1K3×27≈0.366928020961414，

x2，3=2-644·12K-1K3×27±i644·32K+1K3×27ぁ-0.146426973443670±0.618313639592831i.

例3 判别方程x3-0.276x2+0.0136x-0.00043=0 根的情况并求其实根.

解 D=b2-3ac=（-0.276）2-3×0.0136=0.035376，

χ = 9abc-2b3-27a2d2（D）3= 9×（-0.276）×0.0136-2×（-0.276）3-27×（-0.00043）2（0.035376）3

≈1.493662011245495，

由D>0，χ>1 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（21）求解.

κ=3χ+χ2-1≈1.375628929048766，

实根 x1=-b+Dκ+1κ3a=0.276+0.035376κ+1κ3ぁ0.223820634031594.

例4 判别方程x3-0.5856x2+0.072x-0.002=0根的情况并求解.

解 D=b2-3ac=（-0.5856）2-3×0.072=0.12692736，

χ=9abc-2b3-27a2d2（D）3=9×（-0.5856）×0.072-2×（-0.5856）3-27×（-0.002）2（0.12692736）3ぁ0.842186183431575，

由D>0，χ<1可知该方程有三个互异的实根，可用三角求根公式（22）求解.

θ=cos-1χ≈0.569471258300053，

x1=-b+D·2cosθ33a

=0.5856+0.12692736·2cosθ33ぁ0.428446125903143，

x2=0.5856+0.12692736·2cosθ3+2π33ぁ0.039765810249773，

x3=0.5856+0.12692736·2cosθ3-2π33ぁ0.117388063847084.

【注解】

[1]注意复数的平方根有两个值（它们相差一个符号），本文中的所有平方根都可以取其两个值中的任意一个值，最终得到的解是完全相同的（除了根的编号可能不同之外），这可以称为方根取值的自由性原则，它的原理其实就隐含在下面对各求根公式的推导过程中，因为我们对其中出现的平方根都没有限定它取哪一个值，即它可以取任意一个值. 在实际应用中，为了方便计算，可约定各求根公式中的平方根全都取主值（参见附录1）.

[2]对于任意非零复数a，我们总可以选取平方根-b2-3ac9a2的一个值使得它满足-b2-3ac9a2=-（b2-3ac）3a（因为-（b2-3ac）3a2=-b2-3ac9a2，所以-（b2-3ac）3a必为-b2-3ac9a2的一个值），参见附录1和注1.

[3]当D=0时方程的根由式（23）给出（其中的系数可取复数值）.

[4]即当关键比χ为虚数时.

[5]即当关键比χ的分母为0而分子不为0时.

[6]即当关键比χ的分母和分子都为0时.

附录1 复数的方根及其性质

设|Z|为复数z的模，θ为其幅角主值（-π<θ≤π），其n次方根nz的一般值为

nz=n|z|e琲（θ+2kπ）/n=n|z|cosθ+2kπn+isinθ+2kπn，（k∈Z） ，

当k=0，1，2， …， n-1时，上式正好给出n个不同的值，我们可以把k=0对应的值即|z|e琲θ/n称为nz的主值. 易见复数的方根有下面的性质：

nz1z2=nz1·nz2.

鉴于复数方根的多值性，上式中等号的意义是等式两边的值的集合相同，更具体地说，我们可以对它作如下更精细的解释：

（1）nz1的任意一个值和nz2的任意一个值相乘都是nz1z2的一个值.

（2）固定nz1的一个值，当nz2取遍其所有值（共n个）时，乘积nz1·nz2取遍nz1z2的所有值.

（3）nz1z2的任意一个值都可以表示为nz1的任意一个值和nz2的一个值的乘积.

【参考文献】

（美）迪克森（L.E.Dickson）著.黄缘芳译.代数方程式论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.