用配方法解题提升初中数学思维

黄晓明

《数学课程标准》提出，数学学习不仅是指具体的数学知识、解题技能和技巧的学习，更是一种思维模式、思想方法的学习.初中数学中比较重要的思想方法有：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、类比思想、转化与化归思想等.常用的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消元法等.

在数学教材中，数学思想方法渗透其间，并没有系统的归纳和总结，也没有充分的讲解和讨论.在教学中也往往忽略对数学思想方法的教学时机的把握，致使学生对基础知识的学习仅限于理解概念，记住公式、定理，模仿性解题这些浅层次水平上.而对怎样挖掘基础知识中的数学思想方法，如何自觉地渗透数学思想方法的教学，如何坚持不懈地培养学生数学思想方法的应用意识是一项长期的、艰巨的系统工程.

把一个式子化成完全平方式（立方）或者含完全平方（立方）的式子叫作配方.通过配方解题的方法就叫配方法，配方法是式子恒等变形的重要手段之一，它在中学数学中应用非常广泛，是解决数学问题的一种很基本、很重要的数学方法.

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“拆项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab.

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于因式分解、二次根式化简、二次方程或二次函数的讨论与求解等问题.

一、利用配方法可以分组分解多项式

例1 因式分解：a2b2-a2+4ab-b2+1.

分析 在代数式中，利用拆项的方法，给原多项式配上适当的部分，使拆项后的多项式的一部分成为一个完全平方式.

解 a2b2-a2+4ab-b2+1

=a2b2+2ab+1+（-a2+2ab-b2）（拆项，分组）

=（ab+1）2-（a-b）2（配方）

=（ab+1+a-b）（ab+1-a+b）（平方差公式分解）

评析 本题的关键是用拆项，分组，树立配方的思想.必须熟练掌握公式a2±2ab+b2，判断什么是：“a”或“b”，或“ab”，怎样从a2，2ab这两项去找出b，或从a2，b2这两项去找出2ab，或从2ab去找出a2和b2.熟练掌握这些基本方法，从而做到心中有数，配方有路可循.

二、在二次根式的化简计算中巧妙运用配方的思想，通过配方进行化简计算，可收到意想不到的效果

例2 化简根式10-221+4+23.

分析 二次根式化简常用公式：a2=|a|，这就需要把被开方数写成完全平方式.

解 用配方法得

原式=7-27·3+3+3+23·1+1

=（7-3）2+（3+1）2

=7-3+3+1=1+7.

三、经过配方后的式显现出“非负数之和=0”的形式，这时应立即判断每个非负数=0

例3 求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x，y.

分析 本题这类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.

解 由原方程得x2+y2+2x-4y+1+4=0，

配方可化为（x+1）2+（y-2）2=0.

要使等式成立，必须且只需x+1=0，

y-2=0.

解得x=-1，

y=2.

四、配方法在处理二次方程问题和抛物线问题方面发挥重要作用

例4 解方程x2+6x-16=0.

分析 显然，这个方程不能直接用开平方法解，那能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式，即（x+a）2=b的形式？

我们可以这样变形：

把常数项移到右边，得x2+6x=16.

对等号左边进行配方，即两边都加上9即6[]22得

x2+6x+9=16+9，（x+3）2=25.

评析 方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项，得配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即两边都加上9即6[]22得x2+6x+9=16+9，这样就把原方程化为与上面方程一样的形式了.像这种类型题先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后（即化为（x+a）2=b，b≥0的形式），再用开平方来解.

解决数学问题的根本方法就是“化难为易，化繁为简”，把未知的问题转化成熟悉的数学形式，然后用已有的知识经验把问题解决.

当然，加强初中数学思想方法的渗透，并不是靠对几个范例的分析就能解决的，而要靠在整个教学过程中站在方法论的高度讲出学生在课本里的字里行间看不出的奇珍异宝.

数学思想方法之一配方法是处理并解决问题的一种手段，是沟通基础知识与培养能力的桥梁.在数学教学过程中逐步向学生渗透一些数学思想，可以促使学生形成良好的认知结构，达到提高学生洞察事物、寻求联系、解决问题的思维品质和数学能力的目的.

总之，数学教学中能有意识地渗透数学思想方法，有利于学生的思维形式由直观的形象思维向抽象的逻辑思维转化，有利于培养学生良好的思维品质、创新意识，从而逐步形成良好的数学观念.