浅谈直接积分法浅谈直接积分法

薛秋

【摘要】在高等数学中，直接积分法是最基本、最重要的内容之一.它是一种利用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法.该方法掌握得如何，直接关系到后继课程的学习.

【关键词】不定积分；直接积分法

大家知道，直接积分法是求不定积分的最基本的方法，它是以基本积分表和基本运算法则为基础通过代数或三角的恒等变换把积分化成基本积分表中的形式而求解积分的一种重要方法.本文就此谈谈相关内容.

一、直接积分法是以基本积分公式与不定积分的基本运算法则为基础的

不定积分的两个运算法则是：

1.А襨f（x）dx=k∫f（x）dx（k为非零常数）.

2.∫f（x）±g（x）dx=∫f（x）dx±∫g（x）dxВǜ梅ㄔ蚩赏乒阒劣邢薷龃数和）.

上述法则与基本积分公式的结合使用是不定积分的基本内容.

例1 求А要В2x3-e瑇+3）dx.

解 原式=2А要x3dx-А要e瑇dx+3А要dx=x42-e瑇+3x+C.

例2 求А要3+33x2x23x2dx.

解 原式=3А要В▁-83+x-2）dx=-95x-53-3x-1+C.

例3 求А要x2+xx+3xdx.

解 原式=А要x32+x+3xdx=25x52+12x2+6x12+C.

由例2、例3可以看出，对于某些分式或根式函数求积分，可先把它们化为xα的形式，然后应用幂函数的积分公式求出积分.

二、通过代数恒等变形把所求积分化为基本积分表中的形式

当被积函数是一个比较复杂的函数时，这时在积分基本公式中没有此种类型的积分公式，我们常常把被积函数拆成几个简单的函数和的形式，而每一个积分都是基本积分，可逐项积分.

例4 求А要1+2x2x2（1+x2）dx.

解 原式=А要1+x2x2（1+x2）+x2x2（1+x2）dx=А要В1x2+11+x2）dx=-1x+arctanx+C.

例5 求А要x41+x2dx.

解 原式=А要x4-1+11+x2dx=А要x2-1+11+x2dx=x33-x+arctanx+C.

三、通过三角恒等变换化简求解积分

当被积函数中含有三角函数时，经常需要利用三角恒等式变换对被积函数作适当的变形，再计算积分.

例6 求А要sin2xcosxdx.

解 原式=А要2sinxcosxcosxdx=2А要sinxdx=-2cosx+C.

例7 求А要1sin2xcos2xdx.

解 原式=А要sin2x+cos2xsin2xcos2xdx=А要dxcos2x+А要dxsin2x=tanx-cotx+C.

四、必须对学生提出要注意的问题

在开始接触不定积分的时候，由于微分与积分有明显的不同，对要注意的地方应及时提醒学生：

1.不定积分的结果中一定含有任意常数c，这是因不定积分是求一个函数的全体原函数，如果不写任意常数c，就只有求出其中的一个原函数.

2.积分变量用什么字母表达无关，即积分变量既可用x表示，也可用t表示，但必须注意在同一问题中应该用同一个字母表示（换元除外）.

例8 А要tan2tdt=А要sin2tcos2tdt=А要1-cos2tcos2tdt=А要1cos2tdt-А襠t=tant-t+C.

显然这里的积分变量是t.

3.积分的结果在表达的形式上不唯一.

例9 求А要-11+x2dx.

解 法一 А要-11+x2dx=arccotx+C.

法二 А要-11+x2dx=-А要11+x2dx=-arctanx+C.

可以证明两个结果的表达式只差一个常数.

【参考文献】

[1]柳重堪.一元函数微积分[M].北京：中央广播电视大学出版社，2000（7）.

[2]沈艳.高等数学知识要点与习题解析[M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2008（4）.