系统思考在高中数学教学中的应用

张晓凤

【摘要】差分和差分方程是高中数学的基础课内容，在实际问题中许多变量的变化都是通过差分来分析的，差分方程x璶+1=Ax璶描述了动态系统的长期行为和演化，但由于中学生知识的局限性，并不能对这个长期行为进行合理的分析.本文通过系统动力学及其研究工具让学生体会动态系统的长期行为，提高学生发现问题、解决问题的能力.

【关键词】差分；系统动力学；中学数学

本文以数学课堂知识为背景，运用系统的观点以及系统动力学的工具展开对相关问题的研究与讨论，通过实验、观察、分析与想象，经计算机进行模拟和验证，激发学生在学习的过程中产生探究的欲望，通过系统思考和Stella的模拟，让学生体会变量之间的关系，观测动态系统的长期行为，在我们的实际教学活动中取得了较好的效果，在此给出两个具体案例.

案例一 教师职业转换预测问题

在某城市有15万人具有本科以上学历，其中有1.5万人是教师，据调查平均每年有10%的人从教师职业转化为其他职业，又有1%的人从其他职业转化为教师职业，试预测5年后这15万人中还有多少人在从事教师职业.

这是一个简单的差分方程问题，传统的数学解法可以用x璶表示第n年后从事教师职业的人数，y璶表示第n年后从事其他职业的人数，则有

x璶+1=0.9x璶+0.01y璶，

y璶+1=0.1x璶+0.99y璶.ふ馐呛有两个未知数列{x璶}，{y璶}的一阶线性差分方程组.如果已知初始值x0=1.5，y0=13.5，用迭代法求差分方程的解，把x0=1.5，y0=13.5代入方程组可得x1=1.48，y1=13.52.

通过计算学生们发现教师的人数一直在减少，其他职业的人数一直在增加，但教师人数是不是会一直减少下去而其他职业的人数一直增加呢？这种趋势会不会因为教师和其他职业之间转化率的改变而改变呢？我们通过Stella对教师人数和其他职业人数的长期行为进行了模拟.按照题目设定参数，运行后的结果显示11年后，教师人数和其他职业人数不再发生变化.学生们惊奇地发现，不论教师和其他职业人数的转化率为多少，教师人数和其他职业人数的长期行为都将不会发生改变，系统最终存在稳定状态.

案例二 捕食者与被捕食者系统

在某个生态环境中，猫头鹰以鼠为食.因此，鼠数量增加，猫头鹰数量也会增加，猫头鹰数量的增加，又会使鼠的数量减少.而鼠数量减少，由于食物缺乏猫头鹰的数量还会相应地减少.显然，它们的数量关系是相互制约的.为了更好地研究此生态系统中鼠和猫头鹰的相互制约关系，下面考虑一个简化“鼠—猫头鹰生态模型”.

假设如果没有鼠作食物，每个月只有40%的猫头鹰可以存活；如果没有猫头鹰捕食，鼠的数量每个月会增长20%.如果鼠充足，猫头鹰的数量会增加30%，另外平均每个月一只猫头鹰可以吃掉鼠1000p只，我们把p称为捕食参数，当捕食参数发生变化时，系统也会随之发生变化.如果用x璶表示第n年后猫头鹰的数量，y璶表示第n年后鼠的数量，则有差分方程

x璶+1=0.4x璶+0.3y璶，

y璶+1=-px璶+1.2y璶.

如果已知初始值x0和y0，用迭代法求可以求出差分方程的解.但对于p的不同取值，生态系统会发生什么样的变化呢？

首先建立系统模型，尝试p分别取值0.1，0.2，0.3时，STELLA运行结果显示，猫头鹰和鼠的数量呈现出指数增长；而尝试p值为0.4时，运行结果显示猫头鹰和鼠的数量在逐年增加后趋于稳定状态；最后尝试p的取值大于0.4，猫头鹰和鼠的数量先逐年增加，然后不断地减少直至灭绝.

从以上的运行结果学生们清晰地看到，经过充分长的时间之后，当捕食参数小于0.4时，两个种群都会增长，生态系统不断膨胀；当捕食参数等于0.4时，两个种群数量都趋于一个稳定值，生态系统趋于平衡；当捕食参数大于0.4时，两个种群终将灭绝，生态系统崩溃.

我们用情境教学的方法力求每名学生都能在轻松氛围中学到知识，从而激发学生学习的兴趣.以课本知识为基础，设立系统的情境教学，让学生自己发现系统思考的微妙法则，建立系统思考的基本概念，让学生在学中玩儿，在玩儿中学，逐步让教师的教授式学习退出课堂.实践证明，通过系统的思考及Stella的模拟，加深了学生对问题的理解，并进一步明确了变量之间的关系，为提高学生运用系统思考的方法在现实生活中发现问题、解决问题的能力起到了推动作用.

【参考文献】

[1]吴锡军，袁永根.系统思考和决策试验.南京：江苏科学技术出版社，2001.

[2]吴锡军.系统思考与系统动力学教程.南京：江苏科学技术出版社，2009.