数学方法论下高中数学教学的思考

余丽娟

【摘要】根据新课程改革的课程理念，对高中数学的教与学需要进行改善，借助数学方法论的思想和心理学有关现象，采用返璞归真，主动建构的方法，来改善学生的学习方式和老师的教学方法，从而提高教学质量.

【关键词】数学方法论；高中数学教学

随着我国数学课程改革的不断深入和发展，课程理念也进一步得以确定.《普通高中数学课程标准》对课程理念的阐明是：关注学习过程，改善学生的学习方式.因此，在新课程改革下，对高中数学的学习要倡导积极主动、勇于探索的学习方式.当然与之相辅的教师的教也要进行“转型”，从而促进学生学习方式的改善.

数学方法论是专门研究数学的发展规律，研究数学的发现、发明和创新机制的一门学科，数学方法论的数学教育方式就是运用数学本身的思想方法指导数学教育改革的一种教学方式.数学方法论在数学教学中的贯彻，把科学的数学观.数学中返璞归真的教育.数学心理学教育等作为宏观可控变量，用来设计数学课型与教法，从而提高教学质量.

心理学研究表明：学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识.“有意义的学习应是儿童以一种积极的心态，调动原有的知识和经验认识新问题，同化新知识，并构建他们自己的意义”，这说明，在数学课程的设计或实践中，选择适当的学习方式，重视学生积极主动地参与学习过程，并根据他们已有的知识和经验进行理解、加工和构建自己的意义，是十分重要的，学生的学习活动不仅仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和积累，而是改善学习方式，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为“再创造”过程.

因此，数学教学首先要让数学恢复其本来面目，恢复其创造过程中的形式，进行所谓返璞归真的改革，才能通过学生自己的发现与创造学习数学.当然，要让学生像数学家一样亲身来发现与创造数学模式似乎不可能，但通过主动建构来学数学，体验数学家发明与创造的喜悦是完全可能的.

一、“返璞归真”的概念课

数学概念是数学学习的基石，只有把概念理解透彻，牢固掌握，才能在数学的学习过程中游刃有余.因此，教师对数学概念教学应该返璞归真，根据不同教学内容的要求，努力揭示数学的本质.

在数学概念教学中，就应引导学生特别注意概念所反映对象的范围，概念定义中的关键词语，概念定义中词语的严密性，概念的语言表达方法，概念中的“特例”与“一般”，概念间的相互联系等等，以此作为思维的展开点，学生才能真正理解概念，掌握概念.

二、经历“再创造”，主动建构

著名数学家徐利治指出“无论是数学中的概念和命题，或是问题，或方法，事实上都应该被看成一种具有普遍意义的模式”.因此，学生在学习数学过程中，通过点典型例子的分析和主动探索，逐步建立各种结构.

1.建立知识结构

认知心理学揭示了人们学习数学中不断建构的过程，当学生原有认知结构与外界数学新情境基本相符时，学生可以通过同化和顺应的方式来扩大自己的认知结构.

如：a+b与ab是最基本的运算形式，在二次方程中，两根之和.两根之积表达为根与系数的关系，对解决二次方程相关问题的应用之大，从初中起学生就感受很深.高中阶段可进一步发掘a+b，ab结构式的运用.

在三角公式中，a+b，ab可共存于两角和的正切：

tan（α+β）=tanα+tanβ[]1-tanαtanβ輙anα+tanβ=tan（α+β）·（1-猼anαtanβ）.

对于正余弦，sinα±cosα与sinαcosα经常需要相互转换.

例1 （1）求tan70°+tan50°-3tan70°tan50°的值；

（2）已知sin2x+2（sinx+cosx）-22-1=0，求tanx；

（3）求函数y=sinx·cosx[]1+sinx+cosx的值域.

（解略）

进一步探索发现a+b与ab自身结构变形：

（a±1）（b±1）=a·b±a±b+1有奇特的应用场合.

例2 已知数列{a璶}，{b璶}的前n项和分别为A璶， B璶 ，那么数列{A璶b璶+B璶a璶-a璶b璶}的前n项和是.

分析与解 对于a+b与ab可以构造出（a±1）（b±1）.

据此，设新数列为C璶 ，则

C璶=A璶B璶+B璶a璶-a璶b璶=A璶B璶-A璶B璶+A璶b璶+B璶a璶-a璶b璶=A璶B璶-（A璶-a璶）（B璶-b璶）=A璶B璶-A﹏-1狟﹏-1，n∈N，C1=A1B1-A0B0，

C2=A2B2-A1B1.

不妨设A0B0=0，则

C3=A3B3-A2B2；

C璶=A璶B璶-A﹏-1狟﹏-1.

所以，

C1+C2+C3+…+C璶=A璶B璶-A0B0=A璶B璶.即{A璶b璶+B璶a璶-a璶b璶}的前n项和是A璶B璶.

这样，把学生原有的知识加以巩固和深化，建立一个知识结构，有助于新问题的解决.

2.建立思想方法结构

为了让学生掌握新模式，传统教法总是先做各种铺垫，让学生跟着老师的步子被动地承认与模仿，但最终还是改变不了知其然不知所以然的一知半解的局面，因此，让学生在学习实践中探索，主动建立数学思想方法结构，从本质上掌握各种新问题.

例如建立目标性解题思想方法结构.

所谓目标性解题就是根据题目的条件，按明确的解题方向，一步步趋近于实现解题的结论，只要条件应用得当，思路与方法不错，也就能成功地作出解答.

例3 已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2∈R，x1≠x2都有|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|，且存在一个实数x0使f（x0）=x0，数列{a璶}中，a1

（1）a璶

分析 本题容易形成数学归纳法的解法，但如果把题设条件用起来，由目标性解题的思想，可使证明显得顺利而简单.

证明 据题意，不妨设x1=a璶，x2=x0，则

|f（a璶）-f（x0）|<|a璶-x0|，

|2a﹏+1-a璶-x0|<|a璶-x0|.

两边平方，化简，得

a﹏+1（a﹏+1-a璶）-x0（a﹏+1-a璶）=（a﹏+1-a璶）（a﹏+1-x0）<0.（*）

所以， a璶

（1）a﹏+1a璶，n∈N.此即欲证之结论.

（2）a﹏+1>x0，a﹏+1x0矛盾，舍去.

所以，命题成立.

说明 直接利用|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|的条件，结合f（a璶）=2a﹏+1-a璶进行运算化简，这就是目标性解题思想的应用，其中x1=a璶，x2=x0的关联性代换以及对（*）的讨论，显得很重要、很关键.

在建立某一思想方法结构后，学生就能将其渗透并贯穿于今后的问题解决.这对高中数学的学习是极有利的.

3.建立技巧结构

数学的解题能力之一，讲究的就是变换、转化、代换、化归等技巧，这些的获得，全在于对于基本概念的准确把握与灵活运用的同时，建立一定的技巧结构.

如代换技巧就有消元代换、参数代换、增量代换、三角代换、结构代换等，灵活而有效地使用各种代换方法，使看起来不易解决的问题能得到较为理想、较为满意的解决.

例4 求证：对任意实数a>1，b>1，有不等式a2[]b-1+b2[]a-1≥8.

证明 设a=1+x，b=1+y， x，y∈R+，则

a2[]b-1+b2[]a-1=（1+x）2[]y+（1+y）2[]x≥（2x）2[]y+（2y）2[]x=4x[]y+y[]x≥8，

当且仅当1=x=y，即a=b=2时取等号.

说明 该题采用了增量代换，使问题变得简单明了.有了一定的解题技巧，在解决较复杂的数学问题时会有事半功倍之效.

因此，数学方法论的指导思想与学生学习的心理特征结合起来，实践于新课程改革下的高中数学教学，对学生的学习方式的改善和老师的教法的逐步完善具有莫大的帮助和促进作用.同时在教学中把教会学生学会发现、发明与创造进一步落到实处.