数列之“函数”特点

沙建

数列是特殊的函数，数列的通项公式（或求和公式）也就是相应函数的解析式，其定义域是自然数集或自然数集的子集.因此，我们在处理一些数列问题时就可以充分地利用相关的函数的一些处理方法和技巧.

一、两个“函数”之间的关系

由于通项公式和求和公式都是相应函数的解析式.因此，这儿的两个“函数”间的关系是指“项和”关系或“项项”关系.“项和”关系是教材中“数列的概念”部分的内容，而且在历年的高考中都有所涉及，而“项项”关系则多是对基本量的考查，对此多采用列方程组的方法来处理.

例1 （2010年江苏高考19题）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn.已知2a2=a1+a3，数列Sn是公差为d的等差数列.求数列an的通项公式（用n，d表示）.

分析 题干与结论分别涉及了前n项和Sn、通项公式an.因此，应想到是考查两个“函数”式（项和）之间的关系的.故只须按处理“项和”关系的步骤做就可以了.

解 由题设知：Sn=S1+（n-1）d=a1+（n-1）d，则

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=2da1-3d2+2d2n.

由2a2=a1+a3，得2（2da1+d2）=a1+2da1+3d2，解得a1=d.

∴n≥2，an=2nd2-d2，又a1=d2，∴an=（2n-1）d2.

评 利用函数的观点来处理“项和”关系（即求通项公式），即与函数中的方程法求解析式是类似的.

二、函数是描述自然界中两个（或几个）数量之间的关系，它体现了两个（或几个）量之间“联系和变化”的辩证唯物主义观点

注意变量间的“关系”.在解题时若能理清这两个（几个）量之间的关系，即用一个（或几个）量来表示另一个量，建立函数关系型的数学模型，再利用函数的性质如单调性、周期性等，往往可使问题迎刃而解，取得很好的效果.

例2 已知函数f（x）=log3（ax+b）的图像经过点A（2，1）和B（5，2），记an=3f（n），n∈N.

（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an2n，Tn=b1+b2+…+bn，若Tn>m（m∈Z）对一切n∈N*均成立，求m的最大值；（3）求使不等式1+1a11+1a2·…·1+1an≥p2n+1对一切n∈N*均成立的最大实数p.

分析 本题第一问很容易求出an的通项公式an=2n-1.第二问与第三问均是关于恒成立的问题，而此又可转化为最值问题处理，求最值一般都是利用单调性来寻求.

解 （2）bn=an2n=2n-12n，∴Tn=b1+b2+…+bn=12+322+…+2n-12n.①

∴12Tn=b1+b2+…+bn=122+323+…+2n-12n+1.②

①-②，得 12Tn=b1+b2+…+bn=12+222+223+…+22n-2n-12n+1=32-2n+32n+1.

∴Tn=3-2n+32n.

做到这一步，下面我们就须求出g（n）=2n+32n的最大值，从而求出m的最大值.因此，我们来研究函数g（n）的单调性.

g（n+1）g（n）=2n+52n+12n+32n=2n+52（2n+3）=121+22n+3（n∈N*）<12（1+1）=1，

∴g（n+1）

∴m有最大值12.

第三问也是类似处理的.

评 对于数列的“函数”的这一特性的考查在数列题中是一种常见的题型.尤其在数列的综合题中，即当与不等式、函数等知识相结合时，函数这一思想的应用显得尤为重要.

三、注意数列中“数”的特殊性

数列是特殊的“函数”，其主要就特在变量是自然数集或自然数集的子集上，那么自然而然的就拥有自然数的特性，即：①它是正数；②它是整数，即分为奇数和偶数.如利用数列中其n为自然数的特性：

例 （2010年徐州市三检）已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a2n=S2n-1，bn=1an·an+1，数列bn的前n项和为Tn.（1）求数列an的通项公式及数列bn的前n项和Tn；（2）是否存在正整数m，n（1

分析 第二问中涉及了m，n两个参数，可以借助成等比数列建立起关于m，n之间的关系，再利用一个来研究另一个.另在利用时抓住变量为自然数这一特性.

解 略.

总之，从上面的例子我们可以总结出数列是一特殊“函数”这一特性，并且在处理有关数列的综合问题时，使用起来还是很好用的.