由江浙两省高考圆锥曲线试题看命题的变化趋势

祁明衡

圆锥曲线部分历来是高考数学的重点，也是学生心中的难点，很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看，圆锥曲线也是高考得分较低的部分；从考纲上来看，一般会“考查学生对解析几何基本概念的掌握情况，考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况，适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力，重视对数学思想方法的渗透”.

江浙两省自古就是鱼米之乡，物产丰富，同时又都是文化大省，在高考试题的编制上也体现了它们的文化特点：灵动隽永，颇有新意.现在让我们以这两个省2012年高考数学圆锥曲线题为例，来分析这两省的试题，感受解析几何试题的变化趋势，发现异曲同工之妙.

例 （2012年江苏卷理19）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜

率.

解析 （1）考查对椭圆的基本知识、性质的掌握，解答略.椭圆的方程为x22+y2=1.

（2）一般思路：求AF1，BF2的方程代入椭圆方程消去x或y由AF1-BF2=62，

求出斜率k.

由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，但考生若是受到思维定式的影响，不加分析便设出直线AF1、BF2的方程y=k（x+1），y=k（x-1），并列出方程组

x212+y21=1，①y1=k（x1+1）.②

但是，此时若学生没有考虑是消去x保留y合适，还是消去y保留x合适，而图一时之方便直接将②式代入①式消去y1，得出x1=-2k2±2k2+22k2+1.但是，此处却不能简单的得出x1=-2k2+2k2+22k2+1或x1=-2k2-2k2+22k2+1，因为这时直线AF1与椭圆左半轴有两个交点，需要讨论保留哪一个根，同理对x2也是如此.那么由AF1-BF2=1+k2·x1+1-1+k2x2-1，由于x1，x2无法确定，则去绝对值符号需要讨论，至此，这道题就陷入了泥潭中，如不及时调整解题策略很可能导致解题的失败.

但是，若考生能由图观察到F1，F2两点均在x轴上方，得出y1>0，y2>0，选择消去x求y，我们可以在开始就从实际出发，打破常规，设直线AF1，BF2的直线方程为x+1=my，x-1=my，则在代入消x的时候降低计算量.

由x212+y21=1，my1=x1+1輞1=m+2m2+2m2+2.

AF1=x1+12+y1-02=my12+y21=2m2+1+mm2+1m2+2.③

同理，BF2=2m2+1-mm2+1m2+2.④

③④由得AF1-BF2=2mm2+1m2+2=62，得m2=2.

∵注意到m>0，∴m=2.

∴直线AF1的斜率为1m=22.由此可见整个问题解决起来颇为方便、顺心.

这是一道直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的定义及性质、直线方程等基础知识.这道题比往年的解析几何题难度要高，注重对题目的细节处理；不仅在题意分析或者条件转化中，而且在运算过程中都存在不小的困难；另外试题对于数学思想方法的运用要求较高.

命题趋势及解题策略

（1）这两道高考题都重视对基础知识和基本方法的考查，强调对解析几何通性通法的掌握，突出数学思想与方法的考查，着力考查分析问题的能力，并且解题方法灵活多变.命题趋势由“知识立意”转向以“能力立意”为主.

（2）在设直线方程时不再是简单固定模式的y=k（x+b），需要对问题进行具体分析，弄通情境，注重对细节的处理，以减少在下面做题中遇到的阻力，避免因为过于烦琐的计算而导致解题失败.

（3）要对问题的情境有一个整体的把握，从全局去考虑问题，全面、联系地分析问题中的各个条件，弄清它们之间的几何关系，用尽量简洁的方法表达出来；另外，解题时要对思维进行及时监控，避免陷入思维定式，在有可能解不下去的情况下及时进行调整.