例说构建策略在解题中的一些应用

2012-04-29 09:58雷晓宏
数学学习与研究 2012年23期
关键词:因式农妇铜板

雷晓宏

【摘要】构建策略就是在探索解题途径时,利用题目提供的信息,把要用到的各个局部知识按一定的步骤组织起来,建立知识体系(在这个过程中,思维的构造活动的特点是构建),从而获得解题的思路,但数学题目数不胜数,并且新知识层出不穷,有些题目的解法独特、技巧性很强,因此,确定恰当的解题策略已成为解题的关键,本文就构建策略在解题中的一些应用以例子的形式说出.

【关键词】构建策略;应用

一、构建函数(模型)解题

例1 证明不等式ex>1+x, x≠0.

证明 构建函数f(x),使f(x)=ex-1-x,则f′(x) = ex-1.故当x>0时,f′(x)>0,f(x)严格递增;当x<0时,f′(x)<0, f(x)严格递减.又由于f(x)在x=0处连续,则当x≠0时,f(x)> f(0)=0, 从而证得ex>1+x, x≠0.

例2 解不等式x2-3x(x-2)(x+1)<0.

分析 原不等式属于分式型不等式,直接解它不方便,不妨构建函数f(x),g(x),且使f(x)=x2-3x,g(x)=(x-2)(x+1),于是有f(x)g(x)<0,从而 f(x)·g(x)<0,此时可借助二次函数的图像来做.

解 构建函数f(x),g(x) ,且使f(x)=x2-3x,g(x)=(x-2)(x+1),它们在同一直角坐标系中的大致图像如图所示,根据图像可知:

二、构建辅助元素解题

例3 已知a,b,c是互不相等的三个数,求方程组x+ay+a2z=a3,x+by+b2z=b3,x+cy+c2z=c3的解.

分析 原方程组是三元一次方程组,若直接用消元法解,则很麻烦,考虑到三个方程的结构是一致的,不妨可构建辅助元素m.

解 将原方程组化为以下形式

a3-a2z-ay-x=0,b3-b2z-by-x=0,c3-c2z-cy-x=0.

构建辅助元素m,且使m3-m2z-my-x=0,那么a,b,c就是方程m3-m2z-my-x=0的三个根,由一元三次方程根与系数的关系知:

a+b+c=z,ab+bc+ac=-y,abc=x.

因此,原方程组的解是x=abc,y=-(ab+bc+ac),z=a+b+c.

说明 设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的三个根为x1,x2,x3,则方程的根与系数之间存在下列关系:x1+x2+x3=-ba,x1x2+x1x3+x2x3=ca,x1x2x3=-da.

三、构建方程(组)解题

例4 在大数学家欧拉《代数引论》里有一个农妇卖鸡蛋的题目:两个农妇一共带有100个鸡蛋上市,两人所带鸡蛋数不同,但卖得的钱数一样,于是第一个农妇对第二个说:“如果你的鸡蛋换给我,我可以卖得15个铜板.”第二个农妇答道:“但是你的鸡蛋如果换给我,我就只能卖得203个铜板.”试问:这两个农妇各有多少个鸡蛋?

分析 假设第一个农妇有x个鸡蛋,每个鸡蛋卖y个铜板,则第二个农妇有(100-x)个鸡蛋,每个鸡蛋卖xy100-x个铜板,根据题意可构建出方程组(100-x)y=15,x·xy100-x=203.解该方程组可求出x.

例5 对于实数x,y定义一种新运算※:x※y=ax+by+c,其中a,b,c为常数,等式右边是通常的加法与乘法运算.

已知3※5=15,4※7=28,那么1※1=.(江西赣州地区初三数学竞赛题)

分析 由x※y=ax+by+c易知3※5=3a+5b+c,4※7=4a+7b+c,但单独由3a+5b+c=15或单独由4a+7b+c=28,既求不出a,又解不出b,所以需构建方程组来解.

解 由新运算的定义及题设得3a+5b+c=15,4a+7b+c=28,解此方程组得a=-35-2c,b=24+c.因此,1※1=a+b+c=-11.

四、构建几何图形解题

例6 分解因式3x2+10x+3.

分析 此题若按常规方法做,则可用十字相乘法或需将3x2+10x+3对应的方程3x2+10x+3=0的根先求出,然后套用公式.若不用上述方法做,而是通过构建几何图形来做,则既直观,又富有启发性.具体操作过程如下:

画3个边长为x的正方形,10个长为1、宽为x的矩形,3个边长为1的正方形,将这16个图形构建成如图所示的矩形,则该矩形的宽为3x+1, 长为x+3.

由于构建前后的面积不变,所以3x2+10x+3=(3x+1)(x+3).

五、构建不等式(组)解题

例7 求函数y=x+2x2+5x+6+log2(x2-4x+3)+arcsinx+(6x2+4x+1)0中自变量x的取值范围.

分析 原函数中的自变量x既要使x+2x2+5x+6,log2(x2-4x+3),arcsinx有意义,又要使(6x2+4x+1)0有意义,故可通过构建不等式组x+2≥0,x2+5x+6≠0,x2-4x+3>0,-1≤x≤1,6x2+4x+1≠0来解.

六、构建表格解题

例8 解不等式x2-3x(x-2)(x+1)<0.

分析 原不等式等价于以下两个不等式组

x2-3x<0,ぃ▁-2)(x+1)>0,或x2-3x>0,ぃ▁-2)(x+1)<0.

但解一元二次不等式组比较麻烦,我们不妨采用构建表格的办法解决,具体操作过程是:先把分子、分母分解因式,然后列表观察x取不同数值时,各个因式的值取什么符号,从而找出原不等式的解.

解 将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)<0的形式.构建如下表格:

∴原不等式的解是-1

关于构建表格解题的说明:(1)在讨论时,先把各因式的根求出来,然后把它们作为分界点,将整个数轴划分成若干个区间来进行.

(2)为了便于讨论起见,在构建表格时,应当把各因式按照它们的根的值从小到大的顺序排列.

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