例说构建策略在解题中的一些应用

雷晓宏

【摘要】构建策略就是在探索解题途径时，利用题目提供的信息，把要用到的各个局部知识按一定的步骤组织起来，建立知识体系（在这个过程中，思维的构造活动的特点是构建），从而获得解题的思路，但数学题目数不胜数，并且新知识层出不穷，有些题目的解法独特、技巧性很强，因此，确定恰当的解题策略已成为解题的关键，本文就构建策略在解题中的一些应用以例子的形式说出.

【关键词】构建策略；应用

一、构建函数（模型）解题

例1 证明不等式ex>1+x， x≠0.

证明 构建函数f（x），使f（x）=ex-1-x，则f′（x） = ex-1.故当x>0时，f′（x）>0，f（x）严格递增；当x<0时，f′（x）<0， f（x）严格递减.又由于f（x）在x=0处连续，则当x≠0时，f（x）> f（0）=0， 从而证得ex>1+x， x≠0.

例2 解不等式x2-3x（x-2）（x+1）<0.

分析 原不等式属于分式型不等式，直接解它不方便，不妨构建函数f（x），g（x），且使f（x）=x2-3x，g（x）=（x-2）（x+1），于是有f（x）g（x）<0，从而 f（x）·g（x）<0，此时可借助二次函数的图像来做.

解 构建函数f（x），g（x） ，且使f（x）=x2-3x，g（x）=（x-2）（x+1），它们在同一直角坐标系中的大致图像如图所示，根据图像可知：

二、构建辅助元素解题

例3 已知a，b，c是互不相等的三个数，求方程组x+ay+a2z=a3，x+by+b2z=b3，x+cy+c2z=c3的解.

分析 原方程组是三元一次方程组，若直接用消元法解，则很麻烦，考虑到三个方程的结构是一致的，不妨可构建辅助元素m.

解 将原方程组化为以下形式

a3-a2z-ay-x=0，b3-b2z-by-x=0，c3-c2z-cy-x=0.

构建辅助元素m，且使m3-m2z-my-x=0，那么a，b，c就是方程m3-m2z-my-x=0的三个根，由一元三次方程根与系数的关系知：

a+b+c=z，ab+bc+ac=-y，abc=x.

因此，原方程组的解是x=abc，y=-（ab+bc+ac），z=a+b+c.

说明 设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的三个根为x1，x2，x3，则方程的根与系数之间存在下列关系：x1+x2+x3=-ba，x1x2+x1x3+x2x3=ca，x1x2x3=-da.

三、构建方程（组）解题

例4 在大数学家欧拉《代数引论》里有一个农妇卖鸡蛋的题目：两个农妇一共带有100个鸡蛋上市，两人所带鸡蛋数不同，但卖得的钱数一样，于是第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板.”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋如果换给我，我就只能卖得203个铜板.”试问：这两个农妇各有多少个鸡蛋？

分析 假设第一个农妇有x个鸡蛋，每个鸡蛋卖y个铜板，则第二个农妇有（100-x）个鸡蛋，每个鸡蛋卖xy100-x个铜板，根据题意可构建出方程组（100-x）y=15，x·xy100-x=203.解该方程组可求出x.

例5 对于实数x，y定义一种新运算※：x※y=ax+by+c，其中a，b，c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算.

已知3※5=15，4※7=28，那么1※1=.（江西赣州地区初三数学竞赛题）

分析 由x※y=ax+by+c易知3※5=3a+5b+c，4※7=4a+7b+c，但单独由3a+5b+c=15或单独由4a+7b+c=28，既求不出a，又解不出b，所以需构建方程组来解.

解 由新运算的定义及题设得3a+5b+c=15，4a+7b+c=28，解此方程组得a=-35-2c，b=24+c.因此，1※1=a+b+c=-11.

四、构建几何图形解题

例6 分解因式3x2+10x+3.

分析 此题若按常规方法做，则可用十字相乘法或需将3x2+10x+3对应的方程3x2+10x+3=0的根先求出，然后套用公式.若不用上述方法做，而是通过构建几何图形来做，则既直观，又富有启发性.具体操作过程如下：

画3个边长为x的正方形，10个长为1、宽为x的矩形，3个边长为1的正方形，将这16个图形构建成如图所示的矩形，则该矩形的宽为3x+1， 长为x+3.

由于构建前后的面积不变，所以3x2+10x+3=（3x+1）（x+3）.

五、构建不等式（组）解题

例7 求函数y=x+2x2+5x+6+log2（x2-4x+3）+arcsinx+（6x2+4x+1）0中自变量x的取值范围.

分析 原函数中的自变量x既要使x+2x2+5x+6，log2（x2-4x+3），arcsinx有意义，又要使（6x2+4x+1）0有意义，故可通过构建不等式组x+2≥0，x2+5x+6≠0，x2-4x+3>0，-1≤x≤1，6x2+4x+1≠0来解.

六、构建表格解题

例8 解不等式x2-3x（x-2）（x+1）<0.

分析 原不等式等价于以下两个不等式组

x2-3x<0，ぃ▁-2）（x+1）>0，或x2-3x>0，ぃ▁-2）（x+1）<0.

但解一元二次不等式组比较麻烦，我们不妨采用构建表格的办法解决，具体操作过程是：先把分子、分母分解因式，然后列表观察x取不同数值时，各个因式的值取什么符号，从而找出原不等式的解.

解 将原不等式化为x（x-3）（x-2）（x+1）<0的形式.构建如下表格：

∴原不等式的解是-1

关于构建表格解题的说明：（1）在讨论时，先把各因式的根求出来，然后把它们作为分界点，将整个数轴划分成若干个区间来进行.

（2）为了便于讨论起见，在构建表格时，应当把各因式按照它们的根的值从小到大的顺序排列.