周期函数的周期性在题解中的应用

雷兆锋

摘要： 周期函数在定义域内的形态是周期变化的，所以在解决周期函数的有关问题时，常利用它的周期性解题.

关键词： 周期函数题解应用周期性

设f（x）是定义在某一数集D上的函数，若存在一常数T（T≠0），具有性质：（1）?坌x∈D，有x±T∈D;（2）?坌x∈D，有f（x±T）=f（x）.那么称T为f（x）的一个周期.如果所有正周期中有一个最小的，称它为函数f（x）的最小正周期.

一、求函数的周期

引理1：若周期函数f（x）有最小正周期T，则kf（x）+c（k≠0），1/f（x）也有最小正周期T；函数f（ax+b）（a≠0）有最小正周期T/|a|.

例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期

分析：将函数解析式化为只含有一个三角函数式的形式，再求最小正周期.

解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos（x-2x）/cosxsin2x=1/sin2x

函数y=sinx的最小正周期为2π

函数y=sin2x的最小正周期为π

函数y=1/sin2x的最小正周期为π

故函数y=tgx+ctg2x的最小正周期为π

由例1可知解这类问题的一般方法是将解析式化为只含有一个三角函数的形式，通过三角函数的周期，求所给函数的周期.

二、求函数的定义域

引理2：若f（x）有最小正周期T，则f（x）的任何正周期T一定是T的整数倍.

例2.求函数y=1/（1+tgx）的定义域

分析：分式有意义的条件是分母不为零，还要注意正切函数本身要有意义.

解：要使函数y=1/（1+tgx）有意义，则1+tgx≠0且x≠kπ+π/2（k∈Z）

要使1+tgx≠0即tgx≠-1，

又∵函数y=tgx的周期是π

∴在（-π/2，π/2）内，x≠π/4

∴x≠kπ+π/4（K∈Z）

故函数y=1/（1+tgx）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+π/4，x≠kπ+π/2，k∈Z}.

因为周期函数在定义域内形态呈周期变化，所以研究这种函数时，不必分析其整个定义域内的情况，而只需在一个定义域内讨论特解.

引理3：如果f（x）是g（x）定义在同一个集合M上的周期函数，周期分别为T和T，且T/T=a，而a是有理数，则它们的和、差、积也是周期函数，且T和T的公倍数为其一个周期.

三、求函数的极值

例3.求函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值

解：设函数y=sinx+cosx，y=sinxcosx

∵y=sinx+cosx=cos（x-π/4）

∴y的周期是T=2π

∴当x=2kπ+π/4（k∈Z）时，y有最大值

有∵y=sinxcosx=sin2x/2，y的周期T=π

∴当x=kπ（k∈Z）时，y有最大值1/2

又∵T与T的公倍数为2π

由上述定理可知，2π是函数y=1+y+y的一个周期，而在［0，2π］内，y、y都只有一个最大值点x=π/4

当x=2kπ+π/4（k∈Z）时，y=1+y+y=（3+2）/2

四、解方程

例4.解方程tg10x+tg2x=0

解:设y=tg10x，y=tg2x，则他们的最小正周期分别为T=π/10、T=π/2

由上述引理可知，它们的最小公倍数π/2就是函数y=tg10x+tg2x的一个周期.在［0，π/2］内，方程无意义的点的集合是M={π/20，3π/20，π/4，7π/20，9π/20}

将方程改写为tg10x=tg（-2x）

10x=k-2x，即x=kπ/12（k∈Z）

当k取0，1，2，3，4，5，6时，x在［0，π/2］上的值分别为0，π/12，π/6，π/4，π/3，5π/12，π/2，但π/4∈M，故不能是方程的根.

原方程的根是x=nπ/2+kπ（0≤k≤6，k≠3，k∈Z，n∈Z）

五、解不等式

例5.解不等式cos3x+2cosx≤0

解：∵cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx（2cos2x+1）≤0

由cosx=0，得x=kπ+π/2（k∈Z）

由（2cos2x+1）=0得x=kπ±π/3（k∈Z）

又y=cosx的周期T=2π，y=2cos2x+1的周期T=π，它们的最小公倍数2π，故在［0，2π］上，cosx=0的根为π/2，3π/2；（2cos2x+1）=0的根为π/3，，2π/3，4π/3，5π/3，所以cos3x+2cosx=0在［0，2π］有6个根，它们分别为π/2，3π/2，π/3，2π/3，4π/3，5π/3故不等式的解集为：

M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3}（k∈Z）

从以上几类可以知道，从三角形的周期性解决数学问题，借助三角形周期性这一特殊性质可以解决相关数学问题并且使之简单化，所以当我们利用三角形函数周期性解决这些问题时，前提是必须理解和掌握三角形的周期性.

参考文献：

［1］姚伟国.用图像法巧求三角函数的周期［J］.职业技术教育，1999，（04）.

［2］杨绍业.三角函数周期的求法［J］.师范教育，1991，（06）.

［3］柳俊峰.移动电话网络的优化设计［J］.数字技术与应用，2011，（08）.