概率论的第一堂课

窦晓峰　张亮

摘要 概率论为大多数理工类、经管类学生的必修课，主要研究随机现象的客观规律，是进一步学习其他专业课的基础。笔者将自身的亲身授课经历与同仁共享，目的在于提高学生学习该课程的兴趣，激发学生的积极性，以期达到更好的教学效果。

关键词 概率论 偶然性 正态分布

中图分类号：G642文献标识码：A

概率论为大多数理工类、经管类学生的必修课，主要研究随机现象的客观规律，是进一步学习其他专业课的基础。该课程实践性很强，且与我们的日常生活、工作、研究息息相关，通过这门课的深入学习，能切实提高学生使用所学知识解决问题的实际能力。

传统的教学方法以讲授为主，优点是使学生能扎实掌握系统的理论知识。但对于一门实践性很强的学科来说，这样的教学方法将使学生的动手解决问题的能力稍显欠缺。怎样根据这门课的特点，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲望，便成为解决这个问题的关键所在了。

作为一门应用极为广泛的专业基础课，培养学生的兴趣是这门课讲好的关键。良好的开端是成功的一半，那么怎样通过第一堂课吸引学生，使之产生强烈的兴趣，为以后的进一步学习打下一个良好的基础呢？

笔者是这样对待这一堂课的，先以爱因斯坦的名言为开场白，引出偶然性的概念，随后以丰富有趣的实例，介绍概率论对我们每个人日常生活、学习、工作、研究、心理问题的指导意义，目的是引起学生对这门课的兴趣，指出偶然性无所不在，而概率论正是一门研究偶然性的学科，并介绍这门课的主要内容及其意义作用，最后仍以名人名言作为结束语，画龙点睛，让学生在愉快的心情中度过第一堂课。以下抛砖引玉，介绍这堂课的主要内容，请同仁斧正。

爱因斯坦曾说过：“我不能相信，上帝会跟宇宙玩掷骰子游戏”，他认为，宇宙是由确定性的规律支配的。物理定律决定了世界的现在和未来。果真这样吗？这不是把我们的世界简单化为一个僵死的、机械的机体了吗？如果真是那样的话，我们岂不是处于一个异常恐怖、单调僵死的世界中吗？而实际上，大家都能感觉到，我们所在的世界充满了乐趣，充满了奇妙的难以言述的美。那么又是什么造成了这种美呢？可以认为，是偶然性。世界上不存在两片完全相同的叶子，正是偶然性造成了这个奇妙的多姿多彩的世界，这些多样性是美产生的来源。在偶然中世界上出现了生命的萌芽，偶然中生命得到了进化发展，偶然中生命获得了智慧，偶然中社会得到了发展，所有这一切都证明了偶然性创造了美。概率论就是研究关于偶然性的一门学科。那么学习它又有什么意义呢？要知道，概率论不仅在自然科学、生命科学和社会科学中都极为重要，且与我们的生活息息相关，渗透于我们生活、工作、心理等各个领域，未来的教育，会使概率的学习进一步融入各门学科和各个阶段，甚至在小学数学教学中也会看到它的身影。正如很多先贤所说，生活之路取决于概率。

我们在生活中经常见到各类彩票的发行，买家从一组数字中选出若干个构成一个组合，开奖时由摇奖机依次开出几个数字，若与买家的选择相同或部分相同，则可获得不同级别的奖金。为了吸引人气，主办者还会给出前期获奖者的中奖号码，画出图表或走势图，给出一些煞有介事的分析，似乎不管我们谁买个彩票中个大奖都不是一件很困难的事。果真这样吗？先来看这样一个例子：如果我们在一轮投骰子的过程中连续掷出了五次六点，那么下一轮我们再掷出六点的概率低于。这样认为对吗？答案肯定是错误的。这一轮掷出骰子的结果跟下一轮或上一轮之间毫无关系，骰子是没有记忆的，它不会记得上次掷出的结果，下一次掷出六点的结果仍然是。同样购买彩票时，不管前面中奖的彩票是什么样的结果，这一期和上一期是毫无关联的，这次我们中得大奖的概率都是同样很小很小的，而且从长远来看，即使你曾经得过奖，但如果你仍然坚持不停地购买下去，结果却只能是净赔不赚，否则谁还会去发行彩票呢？知道了这些，你还会为没中上大奖而耿耿于怀吗？

概率在我们的生活中普遍存在，那么学好概率对于我们的学习有什么帮助吗？当然有了，它可以帮助我们更好地安排我们的学习，让学习更有效率。我们每个人都有自己的特长和特短，怎么扬长避短呢？把时间用在我们不擅长而又不容易取得成绩的领域吗？有些同学正是这样拼命地把时间浪费在自己的特短上，费了大量的精力和时间，还是没有学好，不仅影响了自己的心情，还耽误了课外活动等自己喜爱的一些业余爱好。得不偿失吧？实际上，人无全人，我们选择将较少的时间用于自己不擅长的一些领域，经过努力只要得到合格的成绩就行了；而将大部分精力和时间选择用于研究自己感兴趣的一些事物，发挥出自己的特长，使自己在擅长的领域绽放出生命的精彩，体现自己的创造力。这个选择的过程就是应用概率学知识的过程。

随着现代科学技术的发展，各门学科也越来越紧密地和数学的应用与发展联系了起来，可以毫不夸张地说，越来越多的专业技术其核心几乎都是高等数学、概率等数学知识的运用。有人说，那我研究文学，跟数学没什么关系了吧？非也！比如，学术界对古典名著《红楼梦》的研究可谓时日久矣，很多问题至今还没搞清楚，而在这方面，概率学的应用给了我们许多意想不到的惊喜，解开了许多难解之谜。比如，大家都认为《红楼梦》为曹雪芹与高鹗两人合著，是这样吗？若是这样，那么他们又都著的哪些内容呢？实际上，我们每个人在作文时，字词标点语气音韵的应用各有其特点，而这些特有的写作习惯别人是无法模仿的。现在有了计算机技术的辅助，我们可以通过每个作家对某些特定的字词应用的频率等等细节，对我们有疑问的章节（比如《红楼梦》前八十回与后四十回）进行比对，出入较大时，那就肯定不是一个人所为的了。而这些，无一不是在应用着概率的知识。

概率论这门课包含了随机事件与概率、随机变量及分布、多维随机变量及分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理。先行课有高等数学、线性代数等相关课程，后续有与之联系紧密的数理统计等其他相关专业课程。

在具体章节中，我们首先对随机事件、概率的基本概念做个介绍，通过对一些古典概型概率值的求解方法，引申出条件概率和独立性等相关概念；其次，我们用随机变量的取值来表示各种随机事件，使这些随机事件的概率及其性质能够用高等数学的一些方法来进行分析和研究；阐述一维随机变量和多维随机变量的概率分布的具体特点和内容；再次，有些时候，我们还需要研究一些特殊的随机事件分布的特征指标，比如有些数据的平均值和这些数据与均值间的偏离程度等，这就导出了随机变量的数字特征；最后，可能单个随机变量的特征或意义不明显，但大量的随机变量却表现出一定的规律性，比如对大量的随机变量而言，其均值可能稳定收敛于某个值附近，大量随机变量的和也可能是稳定的，并与一种典型的随机变量分布——正态分布有着密切的联系，这就体现了大数定律和中心极限定理的应用价值。

在每章内容的讲解中，都会举出生活中常遇到的、大家感兴趣的问题和现象实例来向大家介绍，还会借助一些图表工具来使大家更清楚地理解各个概念、定理及问题，并展开一些有针对性的讨论，调动大家的学习积极性；同时，在讲授中还会有选择性地使用多媒体的帮助，使学生对各种分布曲线形状及其变换有一个形象、动态的感受，加深对问题的理解程度；对于某些特定的问题，还会做一些问卷调查，及时反馈大家在学习中遇到的困难和问题，在教学中做到有的放矢；另外，为了进一步活跃学习热情和开拓思路，我们还将采取大作业的方式，使大家对自己专业内的相关问题进行思考，试图提出解决办法借以增强动手能力，深化课堂内容。

最后，笔者以林群院士在我院所作学术报告的讲话“每位同学只要有兴趣，并掌握了适当的方法，付出相应的努力，都能成为一名数学家”作为结尾，鼓励大家立志钻研，学好这门充满乐趣和智慧的课程。

参考文献

[1] 马丁·加德纳.啊哈，原来如此[M].科学出版社，2008.

[2] 谭永基，俞红.现实世界的数学视角与思维[M].复旦大学出版社，2010.

[3] 陈家鼎，刘婉如，汪仁官.概率统计讲义（第三版）[M].高等教育出版社，2004.

[4] Sheldom M. Ross.概率论基础教程[M].人民邮电出版社，2010.

[5] Ronald E. Walpole， Raymond H. Myers等.理工科概率统计[M].机械工业出版社，2009.