正项级数教学的几点思考

张康明

摘要： 正项级数教学是高等数学课程教学中的一个重点及难点问题。本文从做好课题的引入、做好问题的衔接、做好课堂的收尾三个方面，对正项级数的教学做了一定的研究与思考。

关键词： 正项级数比较审敛法课题引入问题衔接课堂收尾

正项级数是高等数学课程中无穷级数的重要内容之一，同时又是无穷级数部分的重点和难点问题。从某种程度上说，能否学好正项级数部分的内容直接关系到无穷级数全章的教学效果。因此，正确处理好正项级数的教学显得格外重要，我就如何处理正项级数的教学谈谈自己的思考。

一、做好课题的引入，提出核心问题。

好的开头等于成功的一半，课堂教学也是如此。好的课题导入既能够在内容上承上启下，又能够提高学生的学习兴趣和效率。正项级数的引入主要是提出待解决的问题，在一堂的教学中起到统领作用。本节要解决的问题是正项级数的敛散性问题，那么如何导入该问题呢？要回答这个问题，我们可以从第一节提出的本章核心问题——级数的敛散性问题出发，结合敛散性定义可知，级数的敛散性问题可归结为数列的敛散性问题，进而联系数列的敛散性判别法，由此自然引入正项级数的概念和本节要研究的问题——正项级数的敛散性问题。通过这样的导入，学生能够明白本节的地位与作用，深刻体会正项级数与一般级数审敛法的关系，从而提高学习的积极性和主动性。

二、做好问题的衔接，逐步得出方法。

由本节的问题导入可知，本节的核心问题是要解决正项级数的敛散性问题，那么如何来解决这个问题呢？这是我们在下面的教学中要解决的问题。由导入的分析可知，一个级数如果说是正项级数的话，那么这个级数的前n项和数列是单调递增的，结合单调递增数列必收敛的公理，我们就可以得出正项级数的敛散性的充要条件，即正项级数∑um收敛的充要条件是：部分和数列{S■}有界，即存在某正数M，对一切正整数n有S■＜M。这个充要条件是本节审敛法推导的理论基础，具有十分重要的地位与作用。该定理把级数的敛散性问题转化为判断数列是否有界的问题。那么如何来判断数列的有界性呢？我们可以通过先做几个实例而后来小结其方法，最终得到判断无穷级数前n项和数列有界的方法。通过分析，我们知道判断有界的常用方法是通过不等式放缩其一般项，从而得到前n项和的有界性估计，根据正项级数的敛散性的充要条件就可以判断其敛散性了。该方法的本质是通过正项级数一般项和另一个已知或容易判断其有界性的正项级数的一般项比较得出其有界性的判断，进而可判断其敛散性。我们把这个方法进行归纳就可以得到正项级数的比较审敛法的一般形式。由比较审敛法的一般形式可知：要判断正项级数的敛散性，只要把它和已知敛散性或有界性的级数比较就可以判断原级数的敛散性。一般形式的比较审敛法在本节中具有非常重要的地位与作用，它是后面的几个审敛法推导的理论基础。为了让学生牢固地掌握该方法，我们可以多设置几个例题和练习，然后把该定理归纳为口诀形式：大收则小收，小散则大散，这样便于学生理解和把握该审敛法。另外在设置例题和练习时要考虑一般形式的比较审敛法与极限形式的比较审敛法的过渡，为了达到这个目标，我们可设置一般形式的审敛法难于做，而极限形式较容易处理的题目，如：

第一组练习：判断下列级数的敛散性。

■■；■■

第二组练习：猜测下列级数的敛散性，并说明理由。

■■；■■；■sin■

第一组练习的题目主要是让学生牢固掌握一般形式的比较审敛法，而第二组练习主要是在第一组练习的基础上进行改编。这样便于学生根据第一组练习的结论猜测第二组练习的结论，但又难于从一般形式的审敛法中说明。这样的设置可以让学生产生强烈的学习愿望，可以增强教学的效果。有了前面的铺垫，我们就可以水到渠成地引出比较审敛法的极限形式。极限形式的比较审敛法其证明主要利用极限的性质和一般形式的审敛法结论，在教学中注重讲解其证明思路，重点强调该法的应用。极限形式的比较审敛法本质是找其一般项的同阶无穷小，正项级数的敛散性与其一般项同阶无穷小为一般项的正项级数的敛散性相同，这样正项级数的敛散性问题转化为寻找同阶无穷小及判断同阶无穷小为一般项的正项级数的敛散性问题。通常用来比较的对象为p-级数和等比级数，因为这两个级数的同阶无穷小好找，敛散性好判断。极限形式的比较审敛法一般是和不同于本身的级数比较，如果和自己比较，那么又有何结论呢？这样我们就可以引进比值和根式判别法，其中根式判别法较之比值判别法更有效。

三、做好课堂的收尾，达到首尾呼应和承前启后的效果。

课堂的收尾是教学的一个重要组成部分，好的收尾，应做到结尾和开头的呼应，同时起到承上启下的作用。正项级数的收尾主要围绕正项级数的敛散性展开，内容由一个充要条件和四个审敛法组成，在收尾小结时可以用表格形式把几个审敛法的特点列出来，同时可以设置问题，让学生来判断一般项级数的敛散性.这样通过问题自然提出下次课要讲的内容，为下节课做好铺垫。

参考文献：

［1］同济大学应用数学系高等数学（第五版上册）北京：高等教育出版社，2002.

［2］赵树嫄等.高度数学（修订本）.北京：中国人民大学出版社，2006.

［3］李卫国.高等数学学习指导与提高.北京航空航天大学出版社，2001.