一道高考试题的错解剖析

董耀杨

题目：（2009年高考浙江卷文科21）已知函数f(x)=x3+（1-a）x2-a（a=2）x=b（a，b∈R）

（1）若函数f（x）的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；

（2）若函数f（x）在区间[-1，1]不单调，求a的取值范围。

一、问题提出

笔者在中学学科网（网址：http：//www.zxxk.com）上下载的2009年高考试题分类汇编解析，该汇编中给出上述题目如下的解答：

解：（1）略。

（2）函数f（x）在区间上[-1，1]不单调，等价于导函数f（x）在-1，1既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f（x）在[-1，1]上存在零点，根据零点存在性定理，有f（-1）f（1）<0，即：[3+2（1-a）-a（a+2）][3-2（1-a）-a（a+2）]<0整理得，（a=5）（a=1）（a-1）2<0，解得-5

不难看出上述解答过程中出现明显而又严重的错误，令人遗憾。

二、剖析

为了剖析该解答过程产生的错误根源，不妨重新审视零点存在性定理。

零点存在性定理：如果函数y=f(x)在（1）区间[a，b]上的（2）图象是连续不断的一条曲线，并且有（3）f(a)·f(b)，那么，函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)，这个c也就是方程f(x)=0的根。

1．剖析定理中有三个条件：(1)闭区间；(2)图象连续；（3）端点函数值异号，这三个条件缺一不可。缺少条件：不能保证端点函数值有意义；图象不连续，如图(1)，虽然端点函数值异号但在这个区间上函数不存在零点；如图(2)，函数不存在零点；图(3)表示的函数满足三个条件，函数存在唯一零点；图4表示的函数，动态角度看“b”，有以下事实：

①满足定理中三个条件的函数在区间内一定存在零点，但零点不一定唯一；

②满足定理中的条件(1)、(2)而不满足(3)的函数在区间内也可能有零点；

③零点存在性定理不可逆，即若函数f(x)在区间[a，b]也有零点，不能推出f(a)·f(b)<0的结论。

综上有，若函数y=f(x)在[a，b]上图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)<0是函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点的充分而不必要条件。

2．剖析解答。上述解答过程中用了零点存在性定理的逆命题，“函数f(x)在[-1，1]上存在零点，根据零点存在性定理，有f（-1）f(1)<0”。事实如上分析，零点存在性定理是不可逆的，即若函数f(x)在区间[a，b]内有零点，不能推出f(a)·f(b)<0的结论。因此由f（-1）f(1)<0，求a的值，本末倒置，暴露了缺乏对定理的条件和结论最本质的理解，无疑会产生漏解现象。从逻辑角度来看，若q的充要条件是q1，或q2，或q3，…那么q1，q2，q3…中的每一个仅是q的充分而不必要条件。

（1）（2）

（3） （4）

三、参考解答

分析一：我们知道，三次函数的导数是二次函数，利用导数方法可以彻底解决三次函数的单调性和极值问题，并且有，三次函数f(x)有极值， 导函数f(x)的判别式由题设，函数f(x)在区间[-1，1]内不单调 f(x)在区间[-1，1]内有极值，函数在区间[-1，1]内至少有一个零点，于是问题转化为一元二次函数的零点（一元二次方程实数根）的分布问题，故考虑从导函数f (x)的判别式“△”人手。

f（ x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）

△=4（1-a）2+12a（a+2）=4（2a+1）2≥0

解法一：当a=-时，△=0，f（x）=3（x+）2≥0 故函数f(x)在区间[-1，1]上单调递增，所以z=-不合题意，舍去；

当时a≠-，△=4（2a+1）2 >0，结合f（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=3（x+）（x-a）

可知，函数f(x)总有两个不同零点-和a。

方法1：函数f(x)的两个零点：(1)一个在区间（-1，1）内，另一个在（-∞，-1）∪（1，+∞）；(2)两个都在区间(-1，1)内；(3)一个在区间（-1，1）内，另一个恰好为区间端点。其

由a≠-及(1)、(2)、(3)得，a的取值范围为-5

方法2：先求函数f(x)的两个零点都不在区间[-1，1]内时的取值范围。

函数f(x)的两个零点都不在区间(-1，1)内，

所以a的取值范围为-5

方法3：函数f(x)在区间[-1，1]内至少有一个零点，可以等价转化为函数f(x)的两个零点不相等且其中有一个落在区间[-1，1]内，即

点评：解法一的着眼点是将问题等价转化为一元二次函数的零点分布问题，以数形结合思想为依托，以形助数使问题获得解决，其中的方法1，2基于分类与整合思想下全面考虑到两个零点所有可能的分布情况；方法3是对两零点分布情况进行优化综合考虑后得到等价的条件，但这种方法的思维过程有点过于浓缩，要求有良好的抽象概括能力。

分析二：由p：“函数f(x)在区间[-1，1]上不单调”，得-p：“函数f(x)在区间[-1，1]上单调”，于是问题可转化为含参数的不等式恒成立问题。

解法二：先求函数f(x)在[-1，1]上单调时，a的取值范围。

1．若函数f(x)在区间[-1，1]上单调递增，则当x∈（-1，1)时，恒有

f（ x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）

显然，①、③都无解，②a -。

2．若函数f(x)在区间[-1，1]上单调递减，则当x∈(-1，1)时，恒有

因此，当函数f(x)在区间[-1，1]上单调时，实数a的取值范围为a≤-5，或a=-，或a≥1。所以当函数f(x)在区间[-1，1]上不单调时，a的取值范围为- 5

点评：1．“已知函数f(x)在区间D上单调递增（减），求某参数的取值范围”，它是高考中的一种高频类题型，其基本方法是转化为“导函数f(x) a≥0在区间D上恒成立”。

2．解法二所蕴涵的思想实际上就是补集思想，在解决-p的过程中，主要是利用分类与整合及数形结合的思想方法，其中第1种情况解决的着眼点基于含参数的二次函数在给定区间上的最值问题；第2种情况是利用有限与无限的思想转化为端点函数值非正即可。

3．由于f(x)= 3x2+2（1-a）x-a（a+2）=3（x+）（x-a），所以也可利用降幂思想，把二次不等式f(x)al≥0和f，(x)al≤0在区间[-1，1]上恒成立问题转化为含参数的一次不等式恒成立问题。

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