浅谈微积分在土木工程上的应用

蔡颢

摘要文章在简要介绍了微积分和土木工程两个学科基本知识的基础上，全面分析了两者的内在联系，并提出了微积分在土木工程学科领域的主要方面应用。

关键词微积分木工程应用

1土木工程与微积分的概述

1.1土木工程与微积分二者的学科联系

土木工程是建造各类工程设施的科学技术的统称土木工程是建造各类工程设施的科学技术的统称。随着科学技术的进步和工程实践的发展，土木工程这个学科也已发展成为内涵广泛、门类众多、结构复杂的综合体系。微积分（Calculus）则指高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是高等数学中的一个基础学科。

两者分属不同学科，但在实践中却有着密切的联系。为了便于理清两者的关系，首先有必要简单地介绍一下微积分和土木工程这两个不同学科。

现在我们通常所说的土木工程，泛指用石、砖、钢材、木材、合金材料及塑料等材料在地球表面的土层或岩层上建造起来的与人类生活、生产活动有关的工程设施。土木工程设施的类型包括建筑工程、公路与城市道路工程、铁路工程、桥梁工程、隧道工程、水利工程、港口工程、给水排水工程、环境工程及海洋工程等。①土木工程是一门学科，称为“土木工程学”，它运用数学、物理、化学等基础学科知识和力学、材料科学等技术科学知识，以及“土木工程学”方面的工程技术知识等来综合研究工程的设计原理、施工技术和实施手段。

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。它是高等数学中的一个基础学科。其内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学主要包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，则包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

通过上述的介绍，我们已清楚地知道在土木工程项目的前期计算、施工过程与工程造价中是无法离开微积分的。只有通过微积分的科学而具体的计算，才能使土木工程项目的具体实践活动变得更加精确、具体、高效和科学。

1.2微积分的发展历程

微积分起源与古代。在公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。我国战国时期的《庄子·天下篇》一书中也有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”之说。②三国时期的刘徽在他的割圆术中也提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、典型的极限概念。

到了十七世纪，许多科学问题需要用微积分来解决，归结起来，主要有四种类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；第二类是求曲线的切线问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力问题。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，从而为微积分的创立做出了贡献。例如，1666年牛顿建立了“反流数术”，即现在的积分法，同年，牛顿将他的研究成果整理成一篇总结性的论文《流数简论》，确定了现代微积分的基本方法。这篇文献是历史上第一篇系统的微积分文献。而德国数学家莱布尼兹则在系统研读了笛卡尔、费马、帕斯卡等人的著作，从巴罗的“微分三角形”开始了微积分的研究工作，创立“无穷小算法”。牛顿与莱布尼兹两位数学家最大的功绩就是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。

微积分发展为越来越复杂的土木工程项目提供了科学的运算手段。

2微积分在土木工程中的具体应用

目前，在某些大学中的土木工程专业本科培养计划中，其主要课程设置包括大学数学、大学物理、理论力学、材料力学、结构力学土力学、土木工工程制图、混凝土结构设计原理、钢结构设计原理、土木工程施工等。其中，专业基础课中必修课有8门，与微积分有密切联系的占了4门，专业课程共有8门，同样有4门与微积分密切相关（测量学、结构力学、土力学、房屋建筑学等）。③不仅如此，只要我们上网浏览一下相关高校的土木工程本科培养计划就会发现，几乎所有大学的土木工程专业本科培养计划中的课程设置都离不开微积分和三大力学（理论力学、材料力学和结构力学）。

2.1微积分在土木工程中的建筑设计的作用

目前，我们可以毫不夸张地说，微积分贯穿于每一项具体的土木工程项目之中。例如，在建筑的设计过程中，一些长度较大的跨江或跨海大桥，以及高速公路、高速铁路等，它们的设计会因为地形或地势的原因，从而无法避免地出现弯道和有弧度的路面、护坡剖面、隧道。在这种情况下，如何去计算道路建造的长度和开挖土方量等？很显然，在桥梁、隧道或道路修好后，再去现场测量是不现实的。正因为如此，在每一个土木工程项目施工前，就必须科学编制一个详细的项目施工说明书（或招投标书）。而要编制该项目书，就必须用到微积分的相关知识，对每一路段、桥涵或标段的圆弧进行积分，将一小段的圆弧取极限，将它们看作是一段直线，最后对各个小直线进行相加，以此来算出总的弯道和弧度长度，从而科学计算出总工程量，以便招投标和科学施工。

另外，某些建筑物的壳体型屋顶，它在每一高度下应该弯曲多大的角度，也会用到微积分中多元求导的知识。例如，法国巴黎国家工业与技术展览中心大厅的混凝土薄壳结构是当今世界上跨度最大的薄壳结构。它平面呈三角形，边长219米，壳体离地46米，是双洪波拱体，支撑在三角部墩座上，墩座由预应力拉杆而成。在它的设计过程中，就必须考虑到在不同的高度其x、y，还有z方向的弯曲角度。此时就必须用到微积分中的多元求导的知识。在室内的旋转楼梯中，因为对与楼梯的总高度与旋转的总角度是由于具体的施工场所而决定的。但是，在具体的施工过程中，其具体在某一个高度它的旋转角度数值大小，同样需要用微积分知识来计算出来。所以微积分关于对长度和弧度等计算在土木工程是非常有用的。

2.2微积分在建筑结构荷载方面的应用

建筑物的荷载主要为恒载、可变荷载、风荷载以及地震作用几大部分。④

恒载：房屋是由承重的结构构件（如基础、柱、墙、梁、板等）和一些非结构构件（如楼地面面层、屋面保温防水层、顶棚、墙面上的门窗及抹灰层等）构成的。在工程中将这些由结构构件和非结构构件的自重所引起的荷载叫恒载或永久荷载。

可变荷载：建筑物除了承受恒载之外，还会受人群、家具、储存物等可变荷载，其作用的位置均可随时间而改变。

风荷载：风的作用是不规则的，风对建筑物的影响会随风速、风向的变化而不停地改变。而建筑物在这种波动风的作用下往往会产生晃动。

地震作用：地震会引起的地面运动，并通过房屋影响到上部的建筑结构。地震时所产生的地基水平、垂直运动形态，会使建筑物受到破坏性影响，如同站在地毯上的人受到某种力的作用而不由自主地摇晃。⑤

例如，在杭州湾跨海大桥的设计时，它的北航道桥为主跨448m的钻石型双塔双索面钢箱梁斜拉桥，南航道桥为主跨318m的A型单塔双索面钢箱梁斜拉桥，由于它采用了斜拉桥的建筑工艺来建造道桥。对于桥面的支撑由许多钢索来完成，对于每一根钢索的受力大小，作建筑设计和施工工程中都需要用微积分来精确计算。此外，在水利工程中的拱坝修建施工，因拱坝是平面上呈凸向上游的拱形挡水建筑物，借助拱的作用将水流压力的全部或部分传给河谷两岸的基岩。与重力坝相比，在水压力作用下坝体的稳定不需要依靠本身的重量来维持，主要是利用拱坝两端基岩的反作用来支承。所以对于坝体单位迎水面积的应力大小的计算，也是通过数学中的极限来进行计算的。当然，通过微积分对建筑的荷载进行受力分析时，我们还需要用到物理学中的“结构力学”相关知识。但不管怎样，在土木工程项目设计和施工中的具体求解时，微积分就是我们最有力的工具。

微积分在土木工程项目设施和施工中发挥着举足轻重的作用，它从建筑目标的测量到工程量计算，到建筑物的外形设计，再到建筑物荷载的分析等等都离不开微积分这一科学的技术支撑手段。而现代建筑正是因为有了微积分这一技术支撑手段，才使我们的土木工程项目设计和施工变得更加准确和科学，从而也使我们建造的建筑物更加安全、舒适、美观、环保和低碳！