巧用平移旋转解数学题

张文蔚

平移旋转是初中数学教材改革后新添的内容，这部分知识的引进为我们解决问题带来很大的方便。下面是笔者在多年教学中的一些积累，愿与大家共同分享。

类型一：平移对角线

例1：如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，对角线AC⊥BD，若中位线MN＝8cm，求此梯形的面积.

分析：由于梯形的面积等于中位线乘以高，只要能求出高，则问题就可以解决，于是可以作出高线CF。

解：作高线CF，平移BD到EC，则BD∥EC

∵AB∥DC∴BE∥DC

∴四边形BECD是平行四边形，

∵AD＝BC，AC⊥BD

∴△ACE是等腰直角三角形

∴CF是斜边上的中线，即AE=2CF，

而AE=AB+BE=AB+DC=2MN

∴CF=MN＝8cm

∴梯形的面积=MN證F=64cm2

例2：已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，求此梯形的面积。

解：平移DB到AE，则BD∥AE，并作高线AF

∴四边形AEBD是平行四边形，

∴AE=BD=3，BE=AD=2

∴CE=6

设EF=x

在直角△AFE和直角△ACF中

由勾股定理得：AE2－EF2=AF2=AC2－CF2

即32－x2=52－（6－x）2 x=

∴AF=

∴S梯=AF（AD+BC）=

点评：通过平移对角线，将梯形问题这转化为三角形和四边形问题，并运用勾股定理构造方程来解决，体现了转化思想和数形结合思想的重要作用。

类型二：平移腰

例3：如图所示：在梯形ABCD中，AD∥BC，B+C=90癆D=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，求EF的长

解：平移AB到EM，CD到NE

∴∠B=∠EMC∠C=∠ENB

∵∠B+∠C=90?

∴∠EMC+∠ENB=90啊 唷螹EN=90?

∵E、F分别是AD、BC的中点

∴F是MN的中点

∴EF=MN=1

点评：通过平移腰，可以充分利用题目的条件转化为直角三角形，将问提简单化。

类型三：旋转图形

例4：如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA上的点，BF平分∠AFE，并有EF=AF+CE，求∠EBF

解：以B点为旋转中心，将△BCE按逆时针旋转使得C点与A点重合，得△BAM≌△BCE

∵EF=AF+CE

∴EF=AF+AM

即：EF=FM

又∵BF平分∠AFE

∴∠BFE=∠BFM

∴△BFM≌△BFE ∴∠EBF=∠FBM

又∵∠CBE=∠ABM

∴∠EBM=90?

∴∠EBF=45?

点评：通过旋转将问题这转化为三角形全等，解决问题非常方便。

例5：如图：点P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数

解：将△PBC绕点B逆时针旋转60暗玫健鱌BM

∴MPB=60?

∵PA=3，PB=4，PC=5由勾股定理得，∠APM=90?

又∵BP=BM MBP=60?

∴△MBP是等边三角形

∴MPB=60?

∴APB=APM+MPB=90?60?150?

点评：通过旋转将问题简单明了，进一步转化为直角三角形，再利用勾股定理得出。

（责任编辑 李 翔）