浅论高等数学中极限理论的教学

彭新俊

摘要： 极限理论描述了变量在无限变化过程中的目标函数的变化趋势，是高等数学的重要基础，也是学习高等数学的难点之一。在高等数学的教学过程中，向学生系统讲解极限的重要意义与地位对高等数学学习具有十分重要的意义。

关键词： 高等数学极限理论教学过程

现行高等数学的课程主线，可归纳为：函数→极限→连续→微分学及应用→积分学及应用→常微分方程→无穷级数。除了第一部分作为最简单的基础内容之外，其余教学内容的一个核心思想其实就是围绕极限这一概念展开的。事实上，极限理论是人们认识无限变化的伟大思想，这种思想的运用扩大了人们的思维空间。同时极限也是微积分中最基本、最重要的概念，它从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势，是构成微积分的基础。因此，在学生学习过程中，我们要把极限当做一个极其重要的知识点进行展开。那么，在教学过程中体现并让学生理解极限的重要意义与地位成为学生学习高等数学的重要内容。在教学过程中，我们需要从以下几个方面进行展开与讨论。

一、极限理论的历史

极限的思想和方法是社会实践的产物，其萌芽可追溯到古代。在古希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏朴素的极限思想，如用无限趋近概念计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。

古希腊的安提芬最早表述了“穷竭法”，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。后来，古希腊数学家欧多克斯改进了“穷竭法”。将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小。”“穷竭法”被后人称为阿基米德原理。古希腊数学家阿基米德将“穷竭法”发展成“括约法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。用此方法来证明圆面积时，不仅利用圆内接正多边形，而且用圆外切正多边形把圆的面积“括约”在十分接近于圆的外切与内接正多边形的面积之间。这一方法尽管没有明确提出极限的概念，但已经蕴含了极限计算的重要方法之一的迫敛性。

在中国战国时期的《庄子•天下篇》中有一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是我国较早出现的极限思想，也是最简单的数列{}的极限问题。又如我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”。他的极限思想是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失。”他创造性地将极限思想应用到数学领域，这种无限接近的思想就是极限概念的基础。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。按照这种思想，他一直算到内接正192边形的面积，得到π≈3.14，之后又算到内接正3072边形，得到π≈3.1416，这在当时是非常了不起的。

到了16世纪以后，欧洲生产力得到极大发展。生产和科学技术中存在大量的变量问题，如曲线切线问题、变力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想和方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，给出了数列极限的描述性定义：“如果当n无限增大时，a无限地接近于常数A，那么就说a以A为极限。”之后，维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹，建立了ε-N语言，给微积分提供了严格理论基础。所谓a以A为极限，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数N，使得当n＞N时，不等式|a-A|＜ε恒成立。”这个定义，借助不等式，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，其作为科学论证的基础，至今仍被广泛使用。

在引入极限定义之前，可适当介绍以上关于极限产生的历史背景，以激发学生的认知欲，提高他们的学习兴趣，同时对提高学生的数学修养也是大有裨益的。

二、极限理论的学习

以上极限定义的ε-N语言尽管精确地描述了极限的定义，但在内容上表现为术语抽象，符号陌生。因此，作为教学重点和难点之一的极限理论，教师感到难教，学生感到难学。极限理论以其独特的研究方法和动态的变换方式为学生展示了一个想象空间：以变量及变量之间的联系为思维对象，运用无穷小量分析变量的变化过程，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变……无不贯穿着深刻的辩证思想。极限理论实质上是一种无限逼近的思想方法。

然而，学生习惯于静止的、有限的、单一的和直观的情境，而不习惯在运动变化中探讨事物规律，不习惯表达极限概念的语言模式。如他们并不注意观察数列的变化趋势，着眼点往往放在数列的“终点”上，注意力缺乏整体性；对符号a，ε，n＞N，|a-A|＜ε等不习惯在变化中理解其相互关系，对关键字句的数学意义不求甚解，对形成ε-N意义的必然性不重视，在具体表达时或任意增删字句，或顺序颠倒造成逻辑混乱，对极限概念的形成缺乏感性认识。从而导致在学习极限理论的初始阶段容易心理失去平衡，丧失对高等数学的兴趣。因此极限教学应力求直观，让学生动口动手动脑，由感性到理性，由特殊到一般，由有限到无限，逐步掌握极限概念的思维方法。

简而言之，我们在教学过程中要从具体问题出发，让学生充分掌握ε的任意性。1.ε是预先给定的任意小正数，它具有两重性：就整个极限过程来看，ε具有绝对的任意性；就极限过程某个片段看，ε具有相对固定性，即一经给定，就需找到合适的N，当n＞N时有|a-A|＜ε。绝对任意性是通过相对固定性表现出来，这就反映了a接近于A的近似关系与a的极限是A的精确关系。2.找出项数N是关键，N相对ε而存在，ε愈小，N愈大。同时N对给定的ε又是不唯一的，存在无限多个。3.在“ε-N”定义的|a-A|＜ε中，a表示当n＞N时，a以后的所有项。4.当A为数列{a}的极限时，A是唯一存在的，表示的是当n无限增大时，a趋向的目标。以上仅是极限定义的教学过程中所需注意的关键事项，在教学过程中，我们应从具体数列出发，并结合中学阶段的数学方法，实现学生从感性、具体出发到达理性与一般性，从而深入掌握ε-N语言。以上仅是对极限定义教学过程中的一些理解，对于后续的极限计算，仍有大量需要注意的问题。

三、极限理论与微积分

微积分所研究的对象是函数，所用的方法可以说就是极限，从方法论的角度来说，这是微积分区别于初等数学的显著标志。极限是整个微积分的理论基础，在微积分中几乎所有重要概念都离不开极限。

首先，极限为微积分注入严密性。微积分产生于17世纪后半叶，从创立到基本完善经历了大约三个世纪的时间。在牛顿创立微积分的过程中，导数概念和微积分理论体系中最多只用到了极限的直观描述，这导致在认识上很容易接受之余却不能令人信服和承认。直到19世纪初，柯西与维尔斯特拉斯等人发展了极限理论，用这些理论对微积分进行了严密化，并得到各反对派的普遍认可，微积分理论才得以迅速发展。事实上，极限理论是微积分的真正抽象。

其次，极限实现了有限与无限之间的转化。现实世界中的有限和无限在人们的头脑中有着本质的区别。然而，有限和无限在一定条件下可以相互转化。而微积分正是巧妙地应用极限实现这一转化取得的重大成果。如，对极限a=A的ε-N定义过程中就实现了这一转化。该定义不仅从一个侧面反映了过程的无限增大，以及a的无限接近于A，而且有限值A体现了a的主要部分和无限变化过程。又如，在导数的定义中，同样体现了化有限为无限的过程，用无限来认识有限的问题。为了确定瞬时变化率（导数），我们首先考察某一区间内的平均变化率，然后设想区间逐渐缩小并推广到无限，那么平均变化率就经历一个无限变动过程后转化为导数。类似的例子还体现在定积分定义、级数理论等微积分具体问题中。

最后，极限理论实现了微积分中连续与不连续这一对有本质区别的问题的在一定条件下的转化。如，对定积分的定义过程中，只要划分的间隔充分小，我们就可将离散的求和形式通过极限理论转化为连续量在某一区间上的定积分。又如，在关于连续和间断的讨论中，这一对重要的矛盾概念可以通过极限理论得到统一化处理，并可将可去间断点转化为连续点。这些方面都无一例外地体现了极限实现了连续与不连续的相互转化和统一。

参考文献：

［1］同济大学数学系.高等数学（第6版）.高等教育出版社，2007.4.

［2］姜建清.极限理论在高等数学教学中的贯彻.数学教学与研究，2011，（2）：86-87.

［3］刘逸.极限理论的历史分析.自然辩证法研究，1992，8（10）：10-19.