引领学生养成题后反思的习惯

卫宪涛

一、反思解题本身运用知识是否正确，培养学生分析问题、解决问题的能力

每一道数学题都包含若干个知识点，在解数学题时，学生产生运算错误是经常的，而学生犯错误的原因也是多方面的。其中一个重要原因就是运用的定义、公式、法则、定理以及算理出现了偏差。对于教师，如何减少学生解题错误，应当是一项重要任务，在教学中应当培养学生反思解题本身运用知识是否准确，让学生学会分析题目的结构特征，养成“瞻前顾后”的习惯，引导他们养成“回头看”，力求以最合理的方式，用最直接、最简单的方法达到解题的目的。

例1：计算：-12÷■（-■）2

错解：原式=1×■×■=■

反思：对乘方有关概念理解不好，混淆了（-1）2和-12，出现错误的结论。

例2：已知：AB=AC，∠ABD=∠ACD。

求证：BD=CD。

错解：∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴BD=CD

反思：判定三角形需要三个条件，本案例也罗列了三个条件，但它们却是“SSA”，这个组合不一定能判定三角形全等，运用的定理出现错误。

对于这样知识性错误，教师就要充分体现其主导作用，引导学生暴露错误，师生共同分析出错的原因，学生从反面吸取经验教训，迅速从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，同时提高了分析问题和解决问题的能力。因此，要想少出错，教学中教师就应该以积极主动的态度对待错误和失败，备课时可适当从学生易错的思路去构思，课堂上应加强对典型思路的分析，让学生充分暴露错误的思维过程，使学生在纠正错误的过程中掌握正确的思维方法，培养学生反思习惯，提高自己纠错能力。

二、反思分类问题是否漏解或多解，培养学生思维的严密性

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用的范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决。分类讨论的原则是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。分类思想是数学学习的一种重要思想，学生在解题时经常会出现问题。

例3：在Rt△ABC中，a=3，b=4。求c的值。

错解：c=5

反思：因为受思维定势的影响，学生不假思索地由3、4，给出答案5，而这个问题的答案应当是两个，出现分类原因是没有具体给出哪个角是直角，∠B、∠C都有可能是直角。

数学是一门严密的学科，而思维的严密性则正是数学美之所在，分类讨论题能否合理地利用分类讨论是思维严密性的很好体现，所以让学生解完题之后，反思是否遗漏解或多解，养成解题严谨的科学素养。

三、反思隐含条件是否忽视，培养学生严谨科学态度

数学中的某些定义、公式、法则、概念等都有其成立的前提条件。在具体数学问题中，这些条件或已给出但不明显，或没有给出却渗透题意中，称之为隐含条件。隐含条件具有隐蔽性，解题过程中易于被学生忽略，导致解题错误。要正确解答此类问题，除要掌握扎实的基础知识外，还需要不断总结其运用的一些规律，做到防而有备，提高解题能力。如，二次根式的被开方数是非负数、分母不等于零、二次方程的二次项系数不等于零、函数一般式中字母系数的隐含条件等，我们在解题时不得不细心考察，小心掉入陷阱。

例4：已知：x2-3x=3=（x2+2x-3）0，则x=________.

错解：2或1.

这是一本教辅图书上的一个问题以及给出的答案，解题时没有注意a0≠0，这个法则是有条件限制的，那就是a≠0。当x=1时，x2+2x-3不符合条件，所以需要舍去。

解数学问题时对隐含条件的挖掘，是防止发生漏解、多解、错解的关键环节，所以反思题目中的隐含条件也是非常关键的，可以培养学生严谨的科学态度。

四、反思有无其他方法，即一题多解，培养学生聚合思维

一个数学问题，可以用不同的方法和途径来解决，一题多解有利于沟通各知识点的内涵和外延，深化知识，培养学生发散思维和创造思维，形成分析问题解决问题的能力，让不同的人在数学中得到不同的发展。

在解决数学教学问题的过程时，教师应适时地引导学生从不同的方法、角度、思维方式去观察、联想、分析，根据问题的特定条件探索出一系列的解题思路。激发学生发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。通过一题多解，让学生优化解题方法和过程，形成正确的数学价值观，为学生构建一个有利于“创生”的具有自我生长性的数学学习环境。

五、反思题目能否变换引申，即“一题多变”，培养学生发散思维

著名数学教育家波利亚形象指出：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有几个。”因此，解决数学问题不能仅仅就题论题，孤立解题，而应当对问题进行适当的便式，把一道封闭的习题从不同角度、不同层次、不同角度出发，变化为一道动态的、开放的题目。

例题5：原题：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点，求证：CE⊥BE.

变式1：在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE，E是AD中点。

求证： BC=AB+CD。

变式2：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD， CE⊥BE.判断E是AD中点吗？为什么？

变换3：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，以BC为直径的圆与BD的位置关系是什么？请证明你的结论。

数学问题的解决是学生思维的重要素材，通过问题的变式教学形成数学的基本思想、方法和态度所构成的认知体系以及学会用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯是学生数学素质的核心内容，即要学生有效从“形变”到“质变”。通过题后反思，有效、合理地变换问题，既培养思维的发散性，也培养思维的收敛性。如果把一题多变坚持下去，让学生形成一种习惯，一定能更好地培养学生分析问题解决问题能力。

六、反思解题方法和数学思想，总结规律，形成思维迁移

学生做题往往是为做题而做题，有一些同学是被动做题，缺少积极性主动性，没有进行题后反思习惯，更没有认真分析解题后的知识的迁移。而学生在对题目进行反思引伸、拓展，会更进一步激发自身的求知欲望，培养自己自觉探究的良好习惯，享受成功的喜悦，培养学生创新思维能力。

例6：问题1：线段AB上有n-2个点，请你数一数一共有多少条线段？

问题2；∠AOB内有n-2条射线，请你数一数一共有多少个角？

问题3：n边形有多少条对角线？

问题4：参加会议的人每两人握一次手，如果有n名参加会议，那么共握手多少次呢？

问题5：某班有n名同学，新年每人互送贺卡一张，那么一共送贺卡多少张？

反思：上面几个问题的背景不同，好像没有关系，实际它们分析问题解决问题的方法相同，都是先选取一个对象，看和剩下对象能形成多少个研究对象，在乘以n，有重复的除以2，没有重复的不用除。通过反思解题方法和数学思想，总结规律，通过达到对知识的迁移，并能得出如上奇妙而有趣的结果，享受了做数学题的成功。