例析高考中不等式恒成立问题

张铁丽

在近几年的数学高考中，各省市的试题中有一类常见问题，即不等式恒成立问题.此类问题，侧重于考查不等式与函数、数列等的综合应用，不仅知识覆盖面广，而且对基本数学思想（如化归思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等）的应用提出了更高的要求.学生对此类问题往往感觉难以下手.通过对这类问题的研究，笔者认为它是有章可循的，下面从两个方面来说明这类问题的特点和常见思路.

一、已知参数或变量范围，证明不等式恒成立

例1（2008年山东理21）已知函数f(x)=1(1-x)n+aln(x-1)，其中n∈N*，a为常数.

（1）当n=2时，求函数f(x)的极值；

（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f(x)≤x-1.

分析（1）略.对于（2）可对n分奇偶，分别运用导数进行证明.

证明当n为奇数时，1(1-x)n<0，

∴只需证ln(x-1)≤x-1.

设g(x)=ln(x-1)-x+1，则g′(x)=1x-1-1=2-xx-1≤0，

∴g(x)在［2，+∞)上是减函数，∴g(x)≤g(2)=-1<0.

当n为偶数时，设h(x)=1(1-x)n+ln(x-1)-x+1，

则h′(x)=-n(x-1)n+1+2-xx-1<0，

∴h(x)在［2，+∞)上也是减函数，

∴h(x)≤h(2)=0.综上可知，原不等式恒成立.

二、已知不等式恒成立，求参数范围

这类问题在高考中有三种不同的表示方式，下面分三个小点说明.

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顾名思义，此类问题即直接以求不等式恒成立中参数范围的题面出现.在2008年的各省市高考卷中，考查不等式恒成立中参数范围问题的题目多数是这种类型.

例2（2008年江苏理14）设函数f(x)=ax3-3x+1，若对于任意的x∈［-1，1］，都有f(x)≥0成立，则a的值为.

分析对于这个问题，常规的思路是对a分情况讨论求出f(x)的最小值g(a)，再解g(a)≥0的不等式，从而得到a的值.

解∵f(1)=a-2≥0，∴a≥2.

总之，以上两个方面在高考和各种模拟考中出现频率比较高，比如2009年浙江省高考调测卷（理）第22题就是关于不等式恒成立问题的，笔者在平时教学中，发现学生对此类问题掌握不够，在此抛砖引玉，希望能引起注意.